Геометрія

Рис. 5.4

Багатогранник, всі грані якого являють собою правильні і рівні багатокутники, називають правильними (це - тіла Платона).

Російський математик Леонард Ейлер відкрив і довів знамениту теорему, що зв'язує число граней (Г), вершин (В) і ребер (Р) будь-якого опуклого багатогранника:

Г + В - Р = 2 (число Ейлера)

Побудова проекцій багатогранника зводитися до побудови проекцій вершин і ребер, тобто сітки багатогранника.

36. Перетин прямої загального положення з похилою призмою зображено на рис. 7.8. При цьому доцільно застосувати косокутне проекціювання у напрямі ребер призми на площину її нижньої основи. Призма спроекціюється своєю основою, а пряма — відрізком А1 В2. Перетин допоміжної проекції прямої з основою визначить допоміжні проекції точок перетину прямої з гранями призми: точки |1 і 21. Зворотним про-екціюванням визначають горизонтальні проекції шуканих точок І1 і 2}. Фронтальні проекції визначають за вертикальною відповідністю.

Перетин поверхні площиною загального положення

П ример 7. Побудувати лінію перетину вертикальної призми площиною загального положення Б (а / / b), (малюнок

9-6).

Вся бокова поверхня призми на виді зверху вироджується в трикутник; тому й перетин тут збігається з гранями призми і знаходиться в межах відсіку площині обмеженою лінією PNМ.

Для побудови цієї лінії на вигляді спереду необхідно визначити положення точок M, N, P.

Точки Р і М належать прямій а. Для побудови т.N в площині Б проведемо допоміжну пряму 1-М.

П

39. Побудувати лінію перетину площини загального положення Б (а / / b) з поверхнею піраміди (малюнок 9-8). Для побудови перерізу знайдемо точки перетину ребер піраміди з даної площиною, для чого тричі вирішимо завдання на перетин прямої загального положення з площиною загального положення.

У Візьмемо на площині допоміжні прямі 1-2, 3-4 і 5-6 фронтально конкуруючі відповідно з ребрами SA, SB і SC і з'ясуємо їх взаємне положення.

Так як ребра піраміди перетинаються в одній точці S, то і всі конкуруючі прямі будуть перетинатися в точці S 'фронтально-конкуруючої з вершиною S. У перетині допоміжних прямих з відповідними ребрами піраміди знаходимо вершини перерізу, які з'єднуємо з урахуванням видимості відрізками прямих.

П ример 10. Розглянемо побудову лінії зрізу технічної деталі, обмеженою

кількома поверхнями, однією фронтальною площиною Ф (малюнок 9-9).

Деталь являє собою деякий тіло обертання, обмежене поверхнею конуса, циліндра і кулі. Точки лінії зрізу на поверхні конуса будуються за допомогою паралелей р. Побудова починаємо з знаходження крайньої лівої точки, для чого проводимо на вигляді зліва паралель р 1, дотичну до площини зрізу (радіуса R1) і знаходимо її положення на вигляді спереду. Для побудови інших точок проводимо низку паралелей, починаючи їх побудова з виду попереду. Потім будуємо їх на вигляді зліва і знаходимо точки перетину з фронтальною площиною - це і будуть точки лінії зрізу.

Лінія зрізу на циліндрі являє собою пару прямих, а-на сфері - окружність, для побудови яких точки знаходити не потрібно.

40. Нехай чотиригранна піраміда перетинається вертикально-яка проектує площиною Р. Потрібно визначити справжню величину перетину (фіг. 179).

Площина P перетинає піраміду по чотирикутнику a'b'e'c '- аbес. Щоб визначити справжню величину перетину цієї фігури, необхідно поєднати її з однією з площин проекцій. Вибір площині суміщення диктується зручністю побудови перетину.

У даному випадку зручніше призвести побудова на горизонтальній площині проекцій. Щоб не затемнювати побудовами горизонтальної проекції піраміди, перенесемо січну площину P з точками контуру перетину паралельно первісному її положенню. Площина відзначена вертикальним слідом P V1, точкою сходу слідів Р Х1 і горизонтальним слідом P h1. Далі поєднуємо площину P з горизонтальною площиною проекцій і отримуємо справжню величину перетину фігури. Вона відзначена буквами ABEC.

З метою скорочення місця і операцій при побудові істинної величини перерізу, можна перенос контуру перетину зробити так, як зто показано на фіг. 180. Відзначаємо на продовженні горизонтальній осі фігури в бажаному місці одну з точок, що належать контуру перетину фігури і приймаємо її за поєднану точку.

У цьому прикладі зручніше взяти точку a ', а, поєднане становище якої позначено літерою А. Потім переносимо інші точки контуру перетину. Вони відзначені буквами b '1, c' 1, e '1. При цьому Ae '1 ll a'e'. Потім контур перерізу поєднуємо з горизонтальною площиною і таким чином знаходимо справжню величину перетину фігури ABEC.

Приклад 2. На фіг. 181 наведено побудову істинної величини перерізу для

випадку, коли піраміда пересічена горизонтально-яка проектує площиною. Тут теж зроблений перенос контуру перетину паралельно первісному його становищу.

41. Конус

Нехай потрібно знайти точки М і N, в яких пряма I зустрічає поверхню конуса. Для цього розглянемо малюнку 112, на якому показано знаходження слідів прямої на поверхні конуса. Через вершину S і дану пряму I проводять площину Р, що показано на малюнку 112, б, причому площина Р буде перетинати конус за двома утворюючим: AS і BS. Згадані утворюють зустрінуть

дану пряму в шуканих точках М і N. Тоді знайдемо проекції точок перетину (рис. 112, а):

1)площину Р визначається точкою S і прямої I, тоді знайдемо її слід Р h. При цьому одна точка сліду P h визначається слідом h 1 прямий I. Друга точка шуканого сліду P h знаходиться шляхом проведення в площині Р довільній прямій до зустрічі з горизонтальною площиною. З цією метою з'єднаємо

точку Sз будь-якою точкою З цією прямою і знайдемо слід h 2 прямий SC. Пряма, що з'єднує точки h 1 і h 2, представлятиме собою слід P h;

2)потім потрібно приступати до знаходження горизонтальних

проекцій а і b точок перетину А і В сліду P h з окружністю підстави конуса;

3) після цього проводять горизонтальні проекції as і bs, що