Геометрія

а Ç DE = К. Видимість прямої а відносно площини b (DАВС) визначається за допомогою двох пар конкуруючих точок. ТочкиD і F конкурують

на П1: D1º (F1), D Î АВ, F Î а. На П1 відрізок F1K1 проекції прямої а1 невидимий. Точки G і H конкурують на П2: H1º (G1), H Î а, G Î АС. На П2 відрізок F2K2 проекції прямої а2 – видимий.

Задання площини на комплексному рисунку

На епюрі площину можна задати слідами (рис.1.30). це фактично прямі, що перетинаються, прямі особливого положення, оскільки вони лежать на площині проекцій.

Слідом площини називають пряму лінію, по якій площина перетинається з площиною проекцій.

25. Лінія перетину двох площин – це їхня спільна пряма лінія. Вона визначається двома спільними для заданих площин точками або однією спільною точкою і напрямком. Напрямок лінії перетину відомий , якщо одна із двох площин, що перетинаються, проходить через пряму, яка належить другій площині (лінія перетину збігається з цією прямою), або якщо одна із площин паралельна якійсь прямій другої площини (лінія перетину паралельна цій прямій).

Методика побудови лінії перетину двох площин залежить від розташування їх щодо площин проекцій. Можна навести чотири характерні випадки:

-обидві площини різнойменно проекціювальні (рис. 4.7);

-обидві площини однойменно проекціювальні (рис. 4.8);

-одна площина окремого положення, а друга – загального (рис. 4.9);

-обидві площини загального положення (рис. 4.10).

У першому випадку (рис. 4.7) визначення лінії перетину площин полягає у розпізнанні та позначенні її проекцій, які збігаються зі слідами-проекціями заданих площин: l1 = Ω1, l2 = F2.

Якщо обидві площини перпендикулярні до якоїсь площини проекцій, то і лінія їхнього перетину також перпендикулярна до цієї ж площини проекцій (рис. 4.8): Λ(Λ1) ^ П1, Θ(Θ1) ^ П1, Λ ∩ Θ = m ^ П1.

У разі, коли одна із площин загального положення, а друга – окремо

го, то одна із проекцій лінії їхнього перетину збігається з відповідним слідом-проекцією площини окремого положення. Друга проекція лінії пере

Рис. 4.7 Рис. 4.8 Рис. 4.9 Рис. 4.10

тину визначається за умови належності її площині загального положення. На рис. 4.9 показано дві площини: горизонтально проекціювальна Σ(Σ1) і загального положення Ψ(ΔMNP). Горизонтальна проекція n1 їхньої лінії перетину збігається зі слідом-проекцією Σ1(S1=n1), а фронтальна n2 знаходиться за допомогою точок 1(11, 12) і 2(21, 22), що належать сторонам MP(M1P1, M2P2) і MN(M1N1, M2N2) трикутника MNP.

Ліні ю перетину двох площин загального положення доцільно будувати за допомогою двох площин-посередників за таким алгоритмом (рис. 4.11):

1)задані площини Γ і перетинаються допоміжною площиною-посередником

Σ;

2)будуються дві лінії перетину заданих площин з площиною-посередником: 12 = Σ ∩ Γ, 34 = Σ ∩ Δ;

3)відмічається точка перетину побудованих ліній перетину:

М = 12 ∩ 34;

4)площини Γ і перетинаються другою площиною-посередником Ψ;

5)будуються дві лінії перетину площини Ψ із заданими:

56 = Ψ ∩ Γ, 78 = Ψ ∩ Δ;

6) відмічається точка перетину побудованих ліній:

N = 56 ∩ 78.

Пряма, що проходить через точки M i N, є лінією перетину заданих площин Γ і .

Може виявитися, що перша площина-посередник перетинає задані площини по паралельним прямим. Це може свідчити про те, що площини паралельні між собою, або площина-посередник паралельна їхній лінії перетину. У такому разі другу площину-посередник слід провести не паралельно першій. Якщо і друга площинаРис. 4.11

посередник перетинає задані

площини по паралельним прямим, то ці площини паралельні. Якщо ж друга площина –посередник перетинає задані площини по не паралельним прямим, то через точку перетину цих прямих проходить лінія перетину заданих площин паралельно прямим перетину першої площини-посередника із заданими площинами.

Складність та точність побудови лінії перетину площин залежить від вибору

площин-посередників. Розглянемо декілька прикладів. На рис. 4.12 показано побудову лінії перетину площин Γ(a; b) і Δ(k || l). Задані площини перетнуто горизонтальною площиною-посередником Σ(Σ2). Для підвищення точності побудови її слід проводити подалі від точки 5(51, 52) перетину

прямих a і b площини Γ. Площина Σ перетинає площину Γ по прямій 12(1121, 1222), а площину – по прямій 34(3141, 3242). У перетині проекцій 1121 і 3141 цих прямих знайдено горизонтальну проекцію М1 точки М спільної для площин Г і . За лінією зв’язку знайдена фронтальна проекція М2 цієї точки (M2 Ì S2).

Далі площини Γ і перетнуто другою площиною-посередником Ψ(Ψ2), яку проведено через точку 5(52) перетину прямих a і b площини Г паралельно площині-посереднику Σ(Σ2). У такому разі площина Ψ перетинає площину Г по прямій 5N(51N1), яка Рис. 4.12

паралельна прямій 12(1121), а площину – по прямій 67(6171), паралельній прямій 34(3141). У перетині цих прямих маємо точку N(N1), за лінією зв’язку знаходимо її фронтальну проекцію N2 (N2 Ì Y2). Через точки М(М1, М2) і N(N1, N2) проводимо пряму MN. Це і є лінія перетину площин Γ і .

На рис. 4.13 показано побудову лінії перетину двох площин Δ(fº, hº), поданої слідами, та Λ(ΔАВС). Першу горизонтальну площину-посередник Θ(Θ2) проведено через вершину С(С2) трикутника. Вона перетинає площину по її горизонталі h(h1, h2), яка проходить через точку 1(11, 12) перетину площини Θ з фронтальним слідом f°(f°2) площини Δ, а площину Λ - по прямій 2С(21С1, 22С2). У перетині прямих h

та 2C маємо точку М(М1, М2): h121C1 = M1, M2 = Q2 M1M2.

Другу горизонтальну площину-посередник Σ(Σ2) проведено через вершину А(А2)

трикутника АВС. Вона перетинає площину Рис. 4.13

по її горизонталі

(не позначена), яка проходить через вершину А(А1, А2) паралельно прямій 2С, а площину D - по прямій 3N. У перетині цих

прямих знаходимо точку N(N1, N2): A1N1 || 21C1, 31N1 || h1, A1N1 ∩ 31N1 = N1.

Фронтальна проекція N2 точки N знайдена за лінією зв’язку: N2 Ì S2. Пряма MN(M1N1, M2N2) є лінією перетину площин і Λ.

На рис. 4.14 показано побудову лінії перетину двох трикутних відсіків площин загального положення. Проекції відсіків накладені одна на одну. У цьому разі площини-посередники доцільно проводити через сторони трикутників. Першу площину-посередник Σ(Σ2) проведено через сторону АВ(А1В1, А2В2) трикутника АВС. Сторона АВ є лінією

Рис. 4.14

перетину площини Σ з площиною трикутника АВС. Площину трикутника DEF(D1E1F1, D2E2F2) площина Σ перетинає по прямій 12(1121, 1222): 1 = Σ ∩ EF, 2 = Σ ∩ DF. Пряма 12 перетинає сторону АВ у точці М(М1, М2): 1121 ∩ А1В1 = М1. Проекція М2 знайдена за лінією зв’язку: M2 Ì A2B2.

Друга площина-посередник Ψ(Ψ2) проведена через сторону АС(А1С1, А2С2) трикутника АВС. Ця площина перетинається з трикутником DEF по прямій 34(3141, 3242), а з трикутником АВС – по прямій АС. У перетині прямих АС і 34

маємо точку N(N1, N2): 3141 ∩ А1С1 = N1, N2 = A2C2 N1N2. Лінія MN(M1N1, M2N2)

– це лінія перетину площин відсіків. ЇЇ відрізок МК(М1К1, М2К2) знаходиться в межах обох відсіків. Таку побудову лінії перетину площин можна витлумачити і як побудову цієї лінії за двома точками М і N перетину сторін АВ і АС трикутника АВС з площиною трикутника DEF. Таке тлумачення зустрічається у деяких

підручниках та посібниках.

Лінію перетину двох площин, поданих своїми слідами, доцільно знаходити за точками перетину слідів цих площин, якщо вони не виходять за межі креслення. У цьому разі роль площин-посередників відіграють площини проекцій, яким належать сліди площин. Так, на рис. 4.15 показано побудову

лінії перетину двох площин Γ(hº, fº) і Δ(º, º). Горизонтальні сліди hº(hº1, hº2) i º(º1,º2) перетинаються у точці Рис. 4.15

Н(Н1, Н2), а фронтальні fº(fº1, fº2) та

º(º1, º2) – у точці F(F1, F2). Пряма HF(H1F1, H2F2) є лінією перетину площин Г і Δ, а точки H і F – це її сліди.

26. . Перетин двох площин:

а) одна з яких – площина окремого положення;

б) обидві площини загального положення;

в) визначення елементів видимості;

г) площин заданих слідами.

2. Перетин прямої та площини;

а) площина задана плоскою фігурою, паралельними або пересічними прямими;

б) площина задана слідами;

в) визначення елементів видимості.

1. Взаємний перетин двох площин.Результатом перетину двох площин є пряма лінія. Для побудування її проекцій необхідно визначити дві точки, які одночасно належать до двох площин.

Рішення кожної конкретної задачі залежить від графічних умов, якими

задають площини на кресленні.

В більшості випадків необхідно використовувати допоміжні площини окремого положення, що значно спрощує рішення задач.

Приклад 1 (рис. 6.1). Побудувати лінію перетину двох площин Г×∆=KL.

Оскільки ∆┴П1, горизонтальний слід цієї

прямої має збиральні властивості.

Рис. 6.1

Горизонтальна проекція прямої буде розташована на ∆П1.

1. ∆П1×А1В1=11

∆П1×А1С1=21

2. 12 є А2В2

22 є А2С2

──────────

Г×∆=1,2

Приклад 2 (рис. 6.2): Побудувати лінію перетину площин загального положення, які задані плоскими геометричними фігурами.

Для рішення цієї задачі необхідно використати допоміжні проектуючі площини, які дадуть змогу отримати рішення задачі.

1.AB є ∆; ∆┴П2

∆2×D2F2=12

∆2×D2E2=22

11 є D1F1

21 є D1E1

1121×A1B1=K1

K2 є A2B2

2. AC є ∆’; ∆’┴П2

∆’2 ×D2F2=32

∆’2 ×D2E2=42

31 є D1F1

41 є D1E1

3141×A1C1=L1

L2 є A2C2

Рис. 6.2 K1L1; K2L2.

Лінія перетину двох площин ділить кожну площину на 2 частини – видиму і невидиму.

Для визначення елементів видимості пересічних площин необхідно використати рішення аналогічної задачі для мимобіжних прямих.

Якщо пересічні площини задані слідами, то лінію перетину будують у наступній послідовності:

1)позначають точки перетину однойменних слідів;

2)будують недостатні проекції цих точок, які завжди будуть розташовані на вісі х;

3)з’єднують однойменні проекції точок.

Приклад. Побудувати лінію перетину двох площин ∆ і

Г.