Геометрія

утворюють AS і BS, причому їх фронтальні проекції не потрібні;

4)далі відзначають точки перетину m і n горизонтальних проекцій утворюють as і bs з горизонтальною проекцією даної прямої, вони будуть горизонтальними проекціями шуканих точок М та N;

5)на закінчення залишається знайти фронтальні проекції m і n на фронтальній проекції I даної прямої.

Перетин поверхні конуса

У загальному випадку кругова конічна поверхня включає в себе дві абсолютно однакові порожнини, які мають спільну вершину (рис. 107в). Утворюють однієї порожнини представляють собою продовження утворюють другий порожнини. На практиці ми маємо справу не з нескінченно розширюються двома порожнинами конічної поверхні, а з тілом, яке обмежене однією порожниною цієї поверхні і площиною, що є звичайним круговим конусом.

Бувають різні випадки перетину поверхні кругового конуса площиною

плоскі криві, які утворюються перетином конуса з площинами, що не проходять крізь його вершину; к. к. поділяються на: коло, еліпс, гіперболу, параболу.

42. Переріз циліндра площиною, паралельною основам циліндра є круг, який дорівнює основі.

Первинне закріплення набутих знань

1). Коментоване розв’язування опорних задач:

- Висота циліндра 6 см, радіус основи 5см. Знайти периметр перерізу, проведеного

паралельно осі циліндра на відстані 4 см від неї. (Відповідь. 24 см)

Висота циліндра 10см.Площаперерізу циліндра площиною, паралельною осі циліндра і віддаленою на 9см від неї, дорівнює 240см. Знайти радіус циліндра. (Відповідь. 15см)

У циліндрі проведено паралельно осі площину, яка відтинає від кола основи хорду, яку видно з центра цієї основи під кутом 120. Висота циліндра дорівнює 10см. Знайдіть площу перерізу, якщо січна площина віддалена від осі на 2см. (Відповідь. 40)

43 Конічні перерізи — невироджені криві, утворені перетином площини з однією або обома частинами конуса. Перетин площини, перпендикулярній осі конуса, утворює коло. Перетин площини, не перпендикулярній осі конуса, з однією з частин конуса утворює еліпс або параболу. Крива, отримана перетином площини з обома частинами конуса

називається гіперболою. Також існують вироджені перетини: точка, пряма та пара прямих.

Додаток

Рис. 1

44. Для визначення лінії перерізу поверхонь обертання площиною довільного положення необхідно ввести ряд допоміжних площин певного положення, які у перетині з поверхнею утворюють найпростіші фігури – коло, прямі лінії, а у перетині січною площиною – прямі. Це, звичайно, не є складний, але трудомісткий процес, тому доцільніше скористатися методом заміни площин проекції (розділ 5), що є найбільш раціональним у даному разі методом перетворення проекції.

Задача. Визначити проекції та дійсну величину перерізу конуса площиною довільного положення (рис.7.38).

Скористаємос я заміною площин проекції і перетворимо площину загального положення у фронтально-проекційну площину. Для цього нову вісь проекції

45. Перетин поверхні кулі площиною

Рис.113 - Перетини поверхні кулі площинами рівня

Площина перетинає поверхню кулі по колу. При перетині поверхні кулі площинами рівня, проекція лінії перетину на одній площині проекцій є відрізком прямої, яка збігається із проекцією площини, а на іншій – колом(рис.113).

Якщо поверхня кулі перетинає проектуюча площина, то одна проекція лінії перетину буде відрізком прямої, а інша -еліпсом.

Перетин поверхні кулі із фронтально проектуючою площиною δ (рис.114 ).

Лінія перетину – коло, фронтальна проекція якого збігається із проекцієюδ2 площини δ, тобто

відрізок А2В2 прямої АВ у межах фронтальної

проекції кулі. Побудова горизонтальної проекції – еліпса починають із опорних точок. Сама вища точка фігури перетину – точкаА(А1 А2), сама нижча

точка – B(B1 B2). Горизонтальна

проекція А1B1 відрізка АВ – мала вісь еліпса.

Середина фронтальної проекції А2В2 – точка О2 -є

фронтальною проекцією центра кола лінії перетину. Відрізок А2В2 – натуральна величина D1,

діаметра кола перетину. Натуральний вид фігури

Рис.114

- Перетин поверхні кулі із фронтально проектуючою площиною

перетину може бути побудований як коло з діаметром D1, без додаткових побудов.

Горизонтальна проекція О2 визначається за допомогою вертикальної лінії зв'язку. Горизонтальна проекція С1D1, великої осі еліпса дорівнює діаметру D1 На напрямку вертикальної лінії зв'язку від точки О1, відкладають відрізки А2О2 = О2В2,одержують проекцію С1D1), – великої осіеліпса. Маючи осі еліпса, його можна побудувати.

Потім будують проекції точок Е і F видимості, які розділяють горизонтальну проекцію еліпса на видиму й невидимучастини. Фронтальні проекції Е2 іF2 цих точок знаходяться у перетині проекції δ2 площини δ з проекцією Эк2екватора, а горизонтальні проекції Е1 і F1, на горизонтальній проекції Эк1, екватора. У точках Е1 і F1, еліпс повинен торкатися горизонтальної проекції екватора. Можна додатково побудувати проміжні точки, наприклад М і N, за допомогою паралелі n. Побудова на комплексному кресленні показана лініями із вказівкою напрямку стрілками.

45.Перетин кулі проектуючою площиною

Куля – це тіло, що складається з усіх точок простору, які знаходяться від

даної точки на однаковій відстані.

Центром кулі є дана точка, радіусом кулі називається дана відстань.

Сферою називається поверхня, що складається з усіх точок простору,

розміщених на певній відстані від даної точки.

Діаметром кулі є відрізок, що сполучає дві точки сфери і проходить через

центр кулі. Кінці будь-якого діаметра кулі називається діаметрально протилежними точками кулі.

Будь-який переріз кулі площиною є круг. Центр цього круга є основою

перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину.

Будь-яка площина, що проходить через центр кулі, є її площиною симетрії.

Площина, що проходить через центр кулі, називається діаметральною

площиною. Центр кулі є його центром симетрії.

Для того, щоб побудувати лінії перетину будь — якої поверхні з площиною,

необхідно знайти ряд точок, які належать як поверхні, так і площині і потім ці

точки з’єднати плавною кривою лінією. Щоб знайти довільну точку лінії

перетину, роблять так:

1)проводять допоміжну проектуючи січну площину;

2)знаходять лінії перетину цієї площини з поверхнею і даною

площиною;

3) на перетині знайдених ліній отримують шукані точки.Послідовно проводячи ряд допоміжних проектуючи прямих площин, можна

знайти необхідну кількість точок.

50. Взаємний перетин гранних фігур

Лінію, спільну для двох багатогранників, що перетинаються,

називають лінією взаємного перетину. Для її знаходження визначають проекції

точок, спільних для багатогранників, що розглядаються. Сполучаючи точки в