Тема 5. Средние показатели
Наиболее распространенной формой обобщающих характеристик совокупностей, используемой в экономических исследованиях, является средняя величина.
Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику признака статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.
Показатель в форме средней величины отражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков.
Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием основных факторов.
Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности.
На практике определить среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:
В зависимости от того, в каком виде представлены исходные данные для расчета средней, зависит, каким именно образом будет реализовано ее исходное соотношение.
В статистике применяются различные виды средних величин. Применение конкретной формы средней величины зависит от того, в каком виде представлены исходные данные, на основании которых должна рассчитываться средняя величина.
В статистике различают следующие виды средних, каждая из которых может быть простой и взвешенной:
средняя арифметическая;
средняя гармоническая;
средняя геометрическая;
средняя квадратическая, кубическая и т.д.
структурные средние: мода и медиана.
Средняя арифметическая простая. Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по не сгруппированным данным.
Средняя арифметическая взвешенная. При расчете средних величин отдельные значения признака могут повторяться, встречаться по нескольку раз. В данном случае расчет проводится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.
В случае расчета средней арифметической взвешенной для интервального ряда в значения признака используется середина интервала, которая рассчитывается как половина суммы нижней и верхней границы интервала.
Средняя арифметическая величина имеет следующие свойства, использование которых упрощает ее расчет:
Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты.
Сумма отклонений индивидуального значения признака от средней арифметической равна нулю:
Если все осредняемые варианты ряда уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину.
Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя соответственно уменьшится или увеличится в А раз:
Если все частоты уменьшить или увеличить в А раз, то средняя останется неизменной:
;
Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С:
Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Различают среднюю гармоническую простую и взвешенную.
Средняя гармоническая простая:
Средняя гармоническая взвешенная применяется тогда, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение.
Средняя арифметическая и средняя гармоническая величины могут применяться в одних и тех же ситуациях, но по разным данным. Если в ИСС неизвестен числитель, то в расчетах применяется средняя арифметическая величина. Если в ИСС неизвестен знаменатель, то в расчетах используется средняя гармоническая величина.
Средняя квадратическая величина применяется тогда, когда вместо индивидуальных значений признака представлены квадраты исходных величин.
Средняя гармоническая простая:
Средняя гармоническая взвешенная:
Средняя геометрическая применяется в случаях определения средней по значениям, имеющим большой разброс, либо в случаях определения средней величины по относительным показателям. Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики развития социально-экономических явлений для определения среднего темпа роста.
Характеристиками структуры совокупности являются следующие структурные средние:
Мода (Mo) – величина признака, наиболее часто встречающаяся в совокупности, т.е. имеющая наибольшую частоту в ряду распределения. В дискретном ряду моде соответствует признак, который имеет наибольшую частоту. В интервальном ряду порядок нахождения моды следующий:
находится модальный интервал – это тот интервал, который имеет наибольшую частоту;
в пределах модального интервала находится мода по следующей формуле:
где хМо – нижняя граница модального интервала;
iМо – величина модального интервала;
fМо – частота модального интервала;
fМо-1 – частота интервала, предшествующая модальному интервалу;
fМо+1 – частота интервала, следующего за модальным.
2. Медиана (Me) – значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда, т.е. делящее ряд распределения на две равные части, одна из которых имеет значения признаков меньше, чем медиана, а вторая – больше. В дискретном ряду распределения для нахождения медианы определяется номер медианы по следующей формуле:
Номер медианы показывает то значение показателя, которое и является медианой.
В интервальном ряду распределения порядок нахождения медианы следующий:
для ранжированного ряда находятся накопленные частоты;
по данным о накопленных частотах и исходя из определения медианы находится медианный интервал;
в пределах медианного интервала находится медиана по следующей формуле:
где хМе – нижняя граница медианного интервала;
iМе – величина медианного интервала;
fМе – частота медианного интервала;
SМе-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;
fi/2 – полусумма частот ряда.
Мода и медиана могут быть определены графически.
3. Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равновеликие части. Различают квартиль первого порядка (нижний квартиль) и квартиль третьего порядка (верхний квартиль). Каждый из них отсекает соответственно ¼ и ¾ совокупности. Для расчета квартилей используются следующие формулы:
4. Децили – варианты, делящие ранжированный ряд на десять равных частей. Первый дециль отсекает 1/10 часть совокупности, а девятый дециль отсекает 9/10 частей. Рассчитываются децили по аналогичным формулам:
Перцентили – варианты, которые делят ранжированную совокупность на 100 частей.