Распределение вероятности в малых выборках в зависимости от коэффициента доверия t и объема выборки n

n	4	5	6	7	8	9	10	15	20	∞
t
0,5	0,348	0,356	0,362	0,366	0,368	0,370	0,372	0,376	0,378	0,383
1,0	0,608	0,626	0,636	0,644	0,650	0,654	0,656	0,666	0,670	0,683
1,5	0,770	0,792	0,806	0,816	0,832	0,828	0,832	0,846	0,850	0,865
2,0	0,860	0,884	0,908	0,908	0,914	0,920	0,924	0,936	0,940	0,954
2,5	0,933	0,946	0,955	0,959	0,963	0,966	0,968	0,975	0,978	0,988
3,0	0,942	0,960	0,970	0,976	0,980	0,938	0,984	0,992	0,992	0,997

Независимо от вида выборки, на заключительном этапе определяются доверительные интервалы, в которых может находиться генеральная средняя (для количественных признаков) или генеральная доля (для качественных признаков). Доверительные интервалы – это область тех значений генеральной средней, выход за пределы которой имеет весьма малую вероятность. Доверительные интервалы определяются по формулам:

• для средней: ;

• для доли: ;

• для малой выборки:

Задачи и упражнения

1. Что произойдет с величиной предельной ошибки выборки, если вероятность, гарантирующую результат: а) увеличить с о,094 до 0,997; б) уменьшить с 0,954 до 0,683; в) увеличить с 0,683 до 0,954; г) уменьшить с 0,997 до 0,954; д) увеличить с 0,683 до 0,997?

2. Определите, как изменится средняя ошибка случайной выборки, если необходимую численность выборочной совокупности: а) уменьшить в 2,5 раза; на 40%; б) увеличить в 1,5 раза, на 20%. Как нужно применить необходимую численность выборки, чтобы средняя ошибка уменьшилась в 2 раза; на 50%, на 30%?

3. Какой должна быть необходимая численность выборки при механическом отборе, чтобы установить генеральную долю с ошибкой не более 2%, если дисперсия доли неизвестна, а отбор производится из совокупности, включающей: а) 1000 единиц; б) 10000 единиц; в) 100000 единиц? Вероятность, гарантирующая результаты выборочного наблюдения, равна 0,954.

4. Каким должен быть объем случайной бесповторной выборки из генеральной совокупности численностью 10000 единиц при среднем квадратическом отклонении не более 20, предельной ошибке, не превышающей 5%, и вероятности 0,997?

5. Из партии импортируемой продукции на посту таможни было взято в порядке случайной повторной выборки 20 проб продукта А. В результате проверки установлена средняя влажность продукта А в выборке, которая оказалась равной 6% при среднем квадратическом отклонении 1%. С вероятностью 0,683 определите пределы средней влажности продукта во всей партии импортируемой продукции.

6. В результате выборочного обследования 500 студентов ВУЗа (10% от сдавших экзамен в сессию) установили что средние затраты времени на один ответ составляют 15 минут при среднем квадратическом отклонении 7 минут. Среди обследованных - 20 студентов получили «отлично».

Задание: Требуется с вероятностью 0,954 определить пределы средних затрат времени на ответ и доли студентов с отличными оценками.

7. Выборочным опросом 60 продавцов на рынке установлено, что среднее количество картофеля, приносимого на продажу, составляет 120 кг со среднеквадратическим отклонением 50 кг. 20 продавцов из 60 продавали только картофель.

Задание: Требуется с вероятностью 0,954 установить пределы среднего размера продажи и доли продавцов, продававших только картофель.

8. Для выборочного контроля знаний студентов в порядке собственно - случайной бесповторной выборки было отобрано и протестировано 156 чел., что составило 5% от общего контингента студентов ВУЗа. В результате тестирования 5 студентов показали неудовлетворительные результаты.

Вопрос: Можно ли с вероятностью 0,954 утверждать, что доля студентов с неудовлетворительными знаниями в целом не превышает 7%.

9. С целью определения средних затрат времени при поездках на работу населением города планируется выборочное наблюдение на основе случайного повторного отбора. Сколько людей должны быть обследованы, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборочной средней не превышала 1 мин. при среднем квадратическом отклонении 15 мин.?

10. Для определения срока службы металлорежущих станков было проведено 10%-ое выборочное обследование по методу случайного бесповторного отбора, в результате которого получены следующие данные:

Срок службы станков, лет	Число станков, шт.
	вариант 1-й	вариант 2-й	вариант 3-й	вариант 4-й
До 4 4 – 6 6 – 8 8 - 10 Свыше 10	11 24 35 25 5	6 23 38 26 7	18 36 26 11 9	15 32 27 18 8
Итого:	100	100	100	100

Определите для каждого варианта: а) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки и пределы, в которых ожидается средний срок службы металлорежущих станков; б) с вероятностью 0,954 предельную ошибку репрезентативности для доли и пределы удельного веса станков со сроком службы свыше 8 лет.

11. С целью определения среднего стажа работы рабочих завода произведена 20%-ная типическая пропорциональная выборка (внутри групп применялся метод случайного бесповторного отбора). Результаты обследования характеризуются следующими данными:

Группы рабочих по полу	Группы рабочих по стажу, лет
	до 5	5 – 10	10 – 15	15 – 20	20 и выше	Итого
Мужчины Женщины	10 15	50 18	50 27	30 10	15 5	125 75
Итого:	25	38	77	40	20	200

Определите с вероятностью 0,954 ошибку выборки и пределы, в которых будет находиться: а) средний стаж работы всех рабочих; б) удельный вес рабочих со стажем до 5 лет.