+_Algebra10_Nelin_profil

72  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

3. Методи розв’язування рівнянь. Для розв’язування рівнянь використовують методи точного і наближеного розв’язування. Зокрема, для точного розв’язування рівнянь у курсі математики 5–6 класів використовували залежності між компонентами та результатами дій і властивості числових рівностей; у курсі алгебри 7–9 класів — рівносильні перетворення рівнянь, а для наближеного розв’язування рівнянь — графічний метод.

Графічний метод розв’язування рівнянь не дає високої точності знаходження коренів рівняння, і за його допомогою найчастіше можна дістати лише грубі наближення коренів. Іноді зручно графічно визначити кількість коренів рівняння або знайти межі, у яких знаходяться ці корені. У деяких випадках можна графічно довести, що рівняння не має коренів. З указаних причин у шкільному курсі алгебри і початків аналізу під вимогою «розв’язати рівняння» розуміється вимога «використовуючи методи точного розв’язування, знайти корені даного рівняння». Наближеними методами розв’язування рівнянь можна користуватися тільки тоді, коли це зазначено в умові задачі (наприклад, якщо ставиться задача розв’язати рівняння графічно).

Переважно при розв’язуванні рівнянь різних видів нам доведеться використовувати один із двох методів розв’язування. Перший із них полягає в тому, що задане рівняння замінюють більш простим рівнянням, яке має ті самі корені, — рівносильним рівнянням. У свою чергу, одержане рівняння замінюють простішим, рівносильним йому, і т. д. У результаті одержують найпростіше рівняння, яке рівносильне заданому і корені якого легко знайти. Ці корені і тільки вони є коренями даного рівняння.

Другий метод розв’язування рівнянь полягає в тому, що задане рівняння замінюють простішим рівнянням, до коренів якого належать усі корені даного рівняння, тобто замінюють так званим рівняннямнаслідком. У свою чергу, одержане рівняння замінюють більш простим рівнянням-наслідком доти, поки не одержать найпростіше рівняння, корені якого легко знайти. Тоді всі корені заданого рівняння знаходяться серед коренів останнього рівняння. Отже, щоб знайти корені заданого рівняння, достатньо корені останнього рівняння підставити в задане рівняння. За допомогою такої перевірки відділяють корені заданого рівняння (вилучають так звані сторонні корені — ті корені останнього рівняння, які не задовольняють заданому).

У пункті 3.3 буде також показано застосування властивостей функцій до розв’язування рівнянь певного виду.

Рівняння-наслідки

Розглянемо докладніше, як можна розв’язувати рівняння за допомогою рівнянь-наслідків. При розв’язуванні рівнянь головне — не загубити корені заданого рівняння, і тому в першу чергу ми повинні стежити за тим, щоб кожен корінь початкового рівняння залишався коренем наступного. Фактично це і є означенням рівняння-наслідку: у тому випадку,

74  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

Отже, ми гарантуємо, що у випадку, коли рівність (1) правильна, то і рівність (2) теж буде правильною, а це й означає (як було показано вище), що рівняння (2) є наслідком рівняння (1). Якщо ми хоча б один раз використаємо рівняння-наслідки (а не рівносильні перетворення), то можемо отримати сторонні корені, і тоді до розв’язання обов’язково входить перевірка одержаних коренів підстановкою їх у задане рівняння.

Зауваження. Перехід від заданого рівняння до рівняння-наслідку можна позначити спеціальним значком , але його використання для запису розв’язання не є обов’язковим. Разом з тим, якщо цей значок використано, то це свідчить про те, що ми скористалися рівнянняминаслідками, і тому обов’язково до запису розв’язання необхідно включити перевірку одержаних коренів.

Рівносильні рівняння

З поняттям рівносильності ви знайомі з курсу алгебри 7 класу, де рівносильними називалися рівняння, які мали одні й ті самі корені. Зауважимо, що рівносильними вважалися і такі два рівняння, які не мали коренів. Формально будемо вважати, що і в цьому випадку рівняння мають одні й ті самі корені, оскільки відповіді до таких рівнянь однакові: «рівняння не має коренів» (точніше: однаковими є множини коренів таких рівнянь — вони обидві порожні, що позначаюєть символом ).

У курсі алгебри і початків аналізу ми будемо розглядати більш загальне поняття рівносильності, а саме рівносильність на певній множині.

Два рівняння називаються рівносильними на деякій множині, якщо на цій множині вони мають одні й ті самі корені, тобто якщо кожен корінь першого рівняння є коренем другого і, навпаки, кожен корінь другого рівняння є коренем першого.

Для рівнянь, які задано на множині всіх дійсних чисел (наприклад, для лінійних), ми можемо дати однозначну відповідь на запитання «Чи рівносильні задані рівняння?». Наприклад, рівняння х + 3 = 0

і2х + 6 = 0 рівносильні, оскільки обидва мають однаковий корінь х = –3

іінших коренів не мають. Отже, кожне з них має ті самі розв’язки, що й друге.

При розгляді рівносильності рівнянь на множині, яка відрізняється від множини всіх дійсних чисел, відповідь на запитання «Чи рівносильні задані рівняння?» може суттєво залежати від того, на якій множині ми розглядаємо ці рівняння. Наприклад, якщо розглянути рівняння:

х2 – 1 = 0, (4) то, як було показано вище, рівняння (3) має тільки один корінь х = 1, а рівняння (4) — два корені: х = 1 та х = –1. Таким чином, на множині

76  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

першого рівняння правильна рівність зберігається (цей корінь залишається і коренем першого рівняння). Фактично з означення рівносильності рівнянь одержуємо, що кожне з рівносильних рівнянь є наслідком другого рівняння. Таким чином, виконуючи рівносильні перетворення,

ми повинні гарантувати збереження правильної рівності на кожному кроці розв’язування не тільки при прямих перетвореннях, а й при зворотних — це другий орієнтир для розв’язування рівнянь за допомогою рівносильних перетворень. (Відповідні орієнтири схематично подано в пункті 5 таблиці 9.)

Наприклад, щоб розв’язати за допомогою рівносильних перетворень

ності дробу нулю (дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли чисельник дробу дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю). Також слід звернути увагу на те, що на ОДЗ всі потрібні перетворення можна виконати як у прямому, так і у зворотному напрямках із збереженням правильної рівності.

Запис розв’язання в цьому разі може бути таким:

Для виконання рівносильних перетворень рівнянь можна також користуватися спеціальними теоремами про рівносильність. У зв’язку з уточненням означення рівносильності рівнянь узагальнимо також формулювання найпростіших теорем про рівносильність, відомих з курсу алгебри 7 класу.

Теорема 1. Якщо з однієї частини рівняння перенести в іншу

частину доданки з протилежним знаком, то одержимо рівняння, рівносильне заданому (на будь-якій множині).

Теорема 2. Якщо обидві частини рівняння помножити або

поділити на одне й те саме число, яке не дорівнює нулю (або на одну й ту саму функцію, що визначена і не дорівнює нулю на ОДЗ заданого рівняння), то одержуємо рівняння, рівносильне заданому (на ОДЗ заданого).

Обґрунтування цих теорем повністю аналогічне обґрунтуванню орієнтирів для рівносильних перетворень заданого рівняння.

Зауваження. Для позначення переходу від заданого рівняння до рівносильного йому рівняння можна використовувати спеціальний значок , але в записі розв’язань це не є обов’язковим. (Хоча іноді ми його будемо використовувати, щоб підкреслити, що було виконано саме рівносильні перетворення.)

§ 3. Рівняння та їх системи  77

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння x5−2 = x3−1.

4. Причини появи сторонніх коренів та втрати коренів при розв’язуванні рівнянь. Найбільш типові випадки появи сторонніх коренів та втрати коренів наведено в таблиці 10. Там же вказано, як у кожному з цих випадків одержати правильне (чи повне) розв’язання.