+_Algebra10_Nelin_profil

§ 11. Ірраціональні нерівності  201

Запитання для контролю

1.Поясніть, які обмеження доведеться накласти на змінну х, щоб розв’язати рівняння x−2 = x−6 за допомогою рівносильних перетворень.

2.Наведіть приклад однорідного ірраціонального рівняння. Складіть план його розв’язування.

Вправи

1.Розв’яжіть ірраціональне рівняння за допомогою рівносильних перетворень:

§ 11 ІРРАЦІОНАЛЬНІ НЕРІВНОСТІ

Таблиця 23

1. Метод інтервалів (для нерівностей виду f (x) 0)

Відповідь: [–4; 0). 

204  Розділ 2. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

рівносильну заданій: f (x) < g2k (x) (звичайно, за умови врахування ОДЗ заданої нерівності та умови (4)). Отже,

f(x) l 0,

f(x) < g(x) g(x) > 0,

2k

f(x)< g2k (x)

3)Якщо за допомогою рівносильних перетворень необхідно розв’язати нерівність

на її ОДЗ, де f (x) l 0, то для правої частини цієї нерівності розглянемо два випадки: а) g (x) < 0; б) g (x) l 0.

а) При g (x) < 0 нерівність (5) виконується для всіх х з ОДЗ заданої нерівності, тобто при f (x) l 0.

б) При g (x) l 0 обидві частини нерівності (5) невід’ємні, і при піднесенні до парного степеня 2k одержуємо нерівність, рівносильну заданій:

Зауважимо, що для всіх розв’язків нерівності (6) обмеження ОДЗ заданої нерівності f (x) l 0 виконується автоматично; отже, при g (x) l 0 достатньо записати тільки нерівність (6).

Об’єднуючи одержані результати, доходимо висновку, що:

Коментар

Зведемо нерівність до виду f (x) > 0 і розв’яжемо її методом інтервалів. Для того щоб знайти нулі функції f (x), використаємо рівняннянаслідки. Щоб вилучити сторонні корені, виконаємо перевірку одержа-

них розв’язків.

Розв’язання

 Задана нерівність рівносильна нерівності x+3 − x−1− 2x−1 >0.

§ 11. Ірраціональні нерівності  205

2. Нулі функції f (x): x+3 − x−1− 2x−1 =0. Тоді:

x+3 − x−1 = 2x−1, ( x+3 − x−1)2 =( 2x−1)2, x+3−2 x+3 æ x−1+x−1=2x−1, 2 x+3 i x−1 =3.

Підносимо обидві частини останнього рівняння до квадрата: 4 (х + 3) (х – 1) = 9, 4х2 + 8х – 21 = 0,

x1 = 32 =1,5 — корінь, x2 = −72 — сторонній корінь.

3.Розбиваємо ОДЗ точкою 1,5 на два проміжки і знаходимо знак f (x) у кожному з проміжків (рис. 88).

Відповідь: [1; 1,5). 

I спосіб (метод інтервалів)

Коментар

Зведемо задану нерівність до виду f (x) > 0 і розв’яжемо її методом інтервалів. Для того щоб знайти ОДЗ заданої нерівності, теж застосуємо

при х = –2).

Для знаходження нулів функції f (x) використаємо рівняннянаслідки.

Хоча функція f (x) не має нулів, але й у цьому випадку метод інтервалів також працює. Тільки інтервали знакосталості функції f (x) збігаються з інтервалами, з яких складається її область визначення.

Розв’язання

Задана нерівність рівносильна нерівності

методом інтервалів (рис. 89). Одержуємо: х (–∞; –2] È (0; +∞).

206  Розділ 2. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

ІІ спосіб (рівносильні перетворення)

Коментар

Для розв’язування використаємо рівносильні перетворення:

У кінці, об’єднуючи одержані розв’язки, отримуємо відповідь.

і а = 4 > 0), одержуємо, що остання сукупність трьох систем рівносильна

х l 2 або 0 < x < 2, або х m –2 х m –2 або х > 0. Відповідь: (–∞; –2] È (0; +∞). 

Зауваження. Записуючи наведене розв’язання, знаки рівносильності ( ) можна не ставити, достатньо на початку розв’язання записати: «Виконаємо рівносильні перетворення заданої нерівності».

208  Розділ 2. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

Тоді −13 mxm 43.

Відповідь: −13; 43 . 

Запитання для контролю

1.Назвіть основні методи розв’язування ірраціональних нерівностей.

2.Назвіть основні етапи розв’язування ірраціональної нерівності методом інтервалів.

3.Обґрунтуйте справедливість таких рівносильних перетворень:

1)2k+1 f(x) > g(x) f(x) > g2k+1 (x);

§ 12. Узагальнення поняття степеня. Степенева функція, її властивості та графік  209

3. Властивості степенів

Пояснення й обґрунтування

1. Вам відомі поняття степенів з натуральним і цілим показниками. Нагадаємо їх означення та властивості.

Якщо n — натуральне число, біль е за 1, то для будь-якого дійсно-

го числа a an = a i a i ... i a , тобто an дорівнює добутку n співмножни-

n разів

ків, кожен з яких дорівнює a.

При n = 1 вважають, що a1 = a .

Нагадаємо ще одну корисну властивість

210  Розділ 2. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

тобто для степенів з раціональними показниками. Відповідне означення бажано дати так, щоб степені з раціональними показниками мали ті самі властивості, що й степені з цілими показниками.

Наприклад, якщо ми хочемо, щоб виконувалася властивість (ap)q = apq,

m

кореня n­го степеня остання рівність означає, що число an є коренем n­го степеня з числа am. Це приводить нас до такого означення.

п — натуральне, не рівне 1) для від’ємних значень а не вводять. Покажемо тепер, що для введеного означення степеня з раціональ-

ним показником зберігаються всі властивості степенів з цілими показниками (відмінність полягає в тому, що наведені далі властивості є правильними тільки для додатних основ).