+_Algebra10_Nelin_profil

1)

4 a4b14 ;

2) 7 a9b8 ;

3) 6 64a12b7 ;

4) 8 a17b9 .

13.

Внесіть множник під знак кореня (a > 0, b > 0):

1)

a3 7;

2) −b4 ab;

3) ab7 5;

4) ab2 6

a

.

b

11

1)

a4 7;

2) a3 7 ab;

3) ab6

2b

;

4) −b8 −3b3 .

a

5

15.

Спростіть вираз:

1)

8 a8 при a < 0;

2) 5 a5

при a < 0;

3)

4 a4 − 3 a3

при a > 0;

4) 7 a7 + 6 a6

при a < 0.

16*. Спростіть вираз:

1)

4 2ab3 i4 16a3b5 ;

2) 6 ab3c i 6 a5b4c i 6 b5c4 ;

3)

8 a6 5 a4 ;

4) 4 a3 3a5 2a2 .

17.

Спростіть вираз:

1)

a − b

− 3 ab;

2)

−

x + 4 xy

;

3 a − 3

b

4 x − 4 y

4 x + 4 y

3*)

3 ab2 −26 ab5 + b

, де a > 0, b > 0, a ≠ b;

4*)

3 x − 6 xy

.

3 a2b − ab

3 y − 6 xy

18°. Розв’яжіть рівняння:

1) x3 = 7;

2) x6 = 3;

3) x5 = –5;

4) x8 = –13;

5) x4 = 16;

6) x3 = –64.

19. Побудуйте графік функції:

1°) y = 4 x;

2°) y = 5 x;

3°) y = 7 x;

4°) y = 6 x;

5)

y = 3

x

;

6) y = −3 x;

7) y = 4 −x.

20. Розв’яжіть графічно рівняння:

1)

3 x =2−x;

2) x =6−x;

3) 3 x−2 =4−x;

4) −x = x+2.

182  Розділ 2. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

9.3. Обернена функція

Таблиця 20

1. Поняття оберненої функції

Якщо функція y = f (x) набуває кожного свого значення в єдиній точці її

області визначення, то можна задати функцію y = g (x), яка називається

оберненою до функції y = f (x):

якщо f (a) = b, то g (b) = a

E (f) = D (g); D (f) = E (g)

2. Властивості оберненої функції

функцій

симетричні

відносно

дає) на деякому проміжку, то вона

має обернену функцію на цьому

проміжку, яка зростає, якщо f (x)

зростає, і спадає, якщо f (x) спа-

дає

Алгоритм

Приклад

1. З’ясувати, чи буде

функція

Знайдіть функцію, обернену до

y = f (x) оборотною на всій об-

функції y = 2x + 4.

ласті

визначення:

для цього



З рівності y = 2x + 4 можна

достатньо з’ясувати, чи має рів-

однозначно виразити x через y:

няння y = f (x) єдиний корінь

1

відносно змінної x.

x =

2 y−2.

Якщо ні, то виділити (якщо мож-

Ця формула

задає

обернену

ливо) проміжок, де існує оберне-

функцію, але в ній аргумент позна-

на функція (наприклад, це може

чено через y, а функцію — через x.

бути

проміжок,

де

функція

Позначимо в одержаній фор-

y = f (x) зростає або спадає).

мулі

аргумент через x,

а функ-

через y.

1

3. В одержаній формулі ввести

Маємо функцію y =

2x−2, обер-

традиційні позначення — аргу-

нену до функції y = 2x + 4. 

мент позначити через x, а функ-

цію — через y.

v0

186 

Розділ 2. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

обернену функцію, але в ній аргумент

позначено через y, а функцію — че-

рез x. Змінюючи позначення на

традиційні, одержуємо кінцевий ре-

зультат.

Знайдіть функцію, обернену до функції y = х2.

Приклад 2.

Розв’язання

Коментар



Область значень заданої функ-

ції: y l 0. Але при y > 0 з рівності

y = x2 не можна однозначно вирази-

ти x через y. Наприклад, при y = 4

значення x. Отже, на всій

одержуємо x = ±2. Через це ми не

визначення x (–∞; +∞)

можемо значенню y = 4 поставити

у відповідність єдине число, щоб по-

будувати обернену функцію.



Приклад 3.

Розв’язання

Коментар



З рівності y = х2

при y l 0

Множина значень заданої функ-

одержуємо

x = ± y.

Ураховуючи,

ції: y l 0. При x l 0 задана функція

y

= х2 зростає, отже, на

проміжку

що за умовою x l 0, маємо x =

y.

x

l 0 вона має обернену функцію.

Позначимо аргумент через

x,

Тому на цьому проміжку рівняння

а

функцію — через y

і

одержимо,

х2 = y ми зможемо однозначно роз-

що функцією, оберненою до функції

в’язати: при x l 0 маємо x = y.

y = х2, яка задана тільки при x l 0,

Ця

формула

задає

обернену

буде функція y = x.

функцію, але в ній аргумент позна-

чено через y, а функцію — через x.

Замінюючи позначення на традицій-

ні, одержуємо кінцевий результат.

Рис. 85

вітка цієї параболи (рис. 85).

1

1°) y = 3x – 6; 2°) y = –3x – 6; 3) y = 2

;

4) y = −1

; 5) y = x.

x

x

1°) y = 2x;

2°) y = x – 2; 3) y = −x1; 4*) y =

1

; 5*) y = x+1.

x

−1

1) y = 1 x2

при x l 0;

2) y = 1 x2

при x m 0;

4

4

3) y = (x – 2)2 при x l 2;

4) y = x2 – 2 при x m 0.

При піднесенні обох частин рівнян-

ня до непарного степеня одержуємо

до парного степеня можуть з’явитися

рівняння, рівносильне заданому (на

сторонні корені, які відсіюють пере-

його ОДЗ)

віркою

Приклад 1

Приклад 2

Розв’яжіть рівняння 3 x−1 =2.

Розв’яжіть рівняння

2x+3 = x.

(3 x−1)3 =23,

( 2x+3)2 = x2,

х – 1 = 8,

х2 – 2х – 3 = 0, х

= –1, х

2

= 3.

х = 9.

Перевірка.

При

1

маємо:

х = –1

Відповідь: 9. 

1 = −1 — неправильна

рівність,

отже, х = –1 — сторонній корінь.

При х = 3 маємо:

9 =3 — правиль-

на рівність,

отже,

х = 3 — корінь

заданого рівняння.

Відповідь: 3. 

Наприклад, рівняння

3 x+7 =3

(1)

рівносильне рівнянню

(3

x+7)3 =33,

(2)

тобто рівнянню х + 7 = 27.

Звідси х = 20.

вильними

тільки одночасно, оскільки функція

у = t3 є зростаючою (на рисунку 86 наведено її

графік) і кожного свого значення набуває тіль-

ки при одному значенні аргументу t. Отже, усі

корені рівняння (1) (які перетворюють це рів-

няння на правильну рівність) будуть і коренями

рівняння (2), і навпаки, усі корені рівняння (2)

будуть коренями рівняння (1). А це й означає,

що рівняння (1) і (2) є рівносильними. Аналогіч-

но можна обґрунтувати рівносильність відповід-

них рівнянь і у випадку піднесення обох частин

рівняння до одного й того самого довільного не-

Рис. 86

парного степеня.

Якщо

для розв’язування ірраціонального