+_Algebra10_Nelin_profil

92  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

(x2 – 1)2 + | x – 1 | = 0 і взяти до уваги, що (x2 – 1)2 і | x – 1 | — невід’ємні

гого рівняння одержуємо х = 1, що задовольняє всій системі, тобто задане рівняння має єдиний корінь х = 1.

3. Використання зростання та спадання функцій до розв’язування рівнянь спирається на таку властивість: зростаюча або спадна функція набуває кожного свого значення тільки в одній точці її області визначення.

Корисно пам’ятати спеціальні теореми про корені рівняння.

Теорема 1. Якщо в рівнянні f (x) = a функція f (x) зростає (спадає)

на деякому проміжку, то це рівняння може мати не більш ніж один корінь на цьому проміжку.

§ 3. Рівняння та їх системи  93

Графічно твердження теореми проілюстровано на рисунку 51. Пряма у = а перетинає графік зростаючої на проміжку [α; β] функції у = f (x) тільки в одній точці. Це й означає, що рівняння f (x) = а не може мати більше одного кореня на проміжку [α; β]. Доведемо це твердження аналітично.

Якщо на проміжку [α; β] рівняння має корінь x0, то f (x0) = a. Інших коренів бути не може, оскільки для зростаючої функції

f (x) при x > x0 одержуємо f (x) > f (x0) = a, а при x < x0 маємо f (x) < f (x0) = a. Отже, при x ≠ x0 f (x) ≠ a. Аналогічно для спадної

функції при x ≠ x0 одержуємо f (x) ≠ a. 

Теорема 2. Якщо в рівнянні f (x) = g (x) функція f (x) зростає на

деякому проміжку, а функція g (x) спадає на цьому самому проміжку (або навпаки), то це рівняння може мати не більш ніж один корінь на цьому проміжку.

Графічно твердження теореми проілюстровано на рисунку 52.

Якщо на проміжку [α; β] рівняння має корінь x0, то f (x0) = g (x0) = a. Інших коренів бути не може, оскільки, наприклад, для зростаючої

функції f (x) і спадної функції g (x) при x > x0 маємо f (x) > a, a

g (x) < a, отже, f (x) ≠ g (x). Аналогічно і при x < x0 f (x) ≠ g (x).  Кожна із цих теорем стверджує, що в розглянутому проміжку зада-

не рівняння може мати не більш ніж один корінь, тобто або це рівняння зовсім не має коренів, або воно має тільки єдиний корінь. Якщо нам удалося підібрати один корінь такого рівняння, то інших коренів у заданому проміжку рівняння не має.

Наприклад, щоб розв’язати рівняння x3 + x = 10, достатньо помітити, що функція f (x) = x3 + x є зростаючою на всій числовій прямій (як сума двох зростаючих функцій) і що x = 2 — корінь1 цього рівняння

1 Корінь x = 2 одержано підбиранням. Як правило, підбір починають із цілих значень: х = 0, ±1, ±2, ..., які підставляють у задане рівняння.

94  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

(23 + 2 = 10; 10 = 10). Отже, задане рівняння f (x) = 10 має єдиний корінь x = 2.

Зазначимо, що кожна з цих теорем гарантує єдиність кореня рівняння (якщо він є) тільки на проміжку зростання (чи спадання) відповідної функції. Якщо функція має декілька проміжків зростання і спадання, то доводиться розглядати кожен з них окремо.

Приклад. Розв’яжемо за допомогою теореми 2 рівняння x3 +x = x2.

Спочатку слід урахувати його ОДЗ: x ≠ 0 і згадати, що функція y = x2

на всій області визначення не є ні спадною, ні зростаючою (пункт 2.2), але вона спадає на кожному з проміжків (–∞; 0) і (0; +∞). Тому розглянемо кожен проміжок окремо.

1)При x > 0 задане рівняння має корінь x = 1 (13 +1= 12,2=2).

Функція f (x) = x3 + x зростає при x > 0 (як показано вище, вона зростає на множині R), а функція g (x) = x2 спадає на проміжку x > 0.

Отже, задане рівняння f (x) = g (x) при x > 0 має єдиний корінь x = 1.

2)При x < 0 задане рівняння має корінь x = –1 ((−1)3 +(−1) = −21, −2= −2). Функція f (x) = x3 + x зростає при x < 0, а функція g (x) = x2 спадає

на цьому проміжку. Тому задане рівняння f (x) = g (x) при x < 0 має єдиний корінь x = –1.

У відповідь слід записати всі знайдені корені (хоч на кожному з проміжків корінь єдиний, але всього коренів — два). Oтже, задане рівняння має тільки два корені: 1 і –1. 

Приклади розв’язування завдань

Зауваження.Твердження,якебулообґрунтованов коментарідоприкладу 2, може бути використано при розв’язуванні аналогічних завдань. Коротко його можна сформулювати так: якщо функція f (x) є зростаючою (або спадною) на певній множині, то на цій множині f (α) = f (β) α = β.

96  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

Запитання для контролю

1. Поясніть на прикладах, як можна використати властивості функцій до розв’язування рівнянь.

2. Обґрунтуйте правильність орієнтирів для розв’язування рівнянь з використанням властивостей функцій, які наведено в таблиці 10.

Вправи

Розв’яжіть рівняння (1–4), використовуючи властивості відповідних функцій.

3.1) | x2 – 7x + 12 | + | x2 – 9 | + | 6 – 2x | = 0;

2)| x + 2 | + | y – 5 | + | 2x2 – 8 | = 0;

5)x2 + y2 + 5 = 4x + 2y;

6)3x2 + y2 + 2z2 = 4y – 6x – 12z – 25.

100  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

2. Область допустимих значень (ОДЗ) нерівності означають аналогічно до ОДЗ рівняння. Якщо задано нерівність f (x) > g (x), то спільна область визначення для функцій f (x) і g (x) називається областю допустимих значень цієї нерівності (іноді використовують також терміни «область визначення нерівності» або «множина допустимих значень нерівності»). Наприклад, для нерівності x2 < x областю допустимих значень є всі дійсні числа (це можна записати, наприклад, так: ОДЗ: x R), оскільки функції f (x) = x2 і g (x) = x мають області визначення x R.

Зрозуміло, що кожен розв’язок заданої нерівності входить як до області визначення функції f (x), так і до області визначення функції g (x) (інакше ми не зможемо отримати правильну числову нерівність). Отже,

кожен розв’язок нерівності обов’язково входить до ОДЗ цієї нерівності.

Це дозволяє в деяких випадках використовувати аналіз ОДЗ нерівності для її розв’язування.

Наприклад, у нерівності x−3 + 2−x > x функція g (x) = x визначена при всіх дійсних значеннях x, а функція f (x) = x−3 + 2−x — тільки за умови, що під знаком квадратного кореня будуть стояти

ОДЗ заданої нерівності не містить жодного числа, через те ця нерівність не має розв’язків.

Узагалі при розв’язуванні нерівностей різних видів нам доведеться використовувати один із двох методів розв’язування: рівносильні перетворення нерівностей або так званий метод інтервалів.

3. Рівносильні нерівності. З поняттям рівносильності нерівностей ви знайомі з курсу алгебри 9 класу. Як і для випадку рівносильних рівнянь, рівносильність нерівностей ми будемо розглядати на певній множині.

Дві нерівності називаються рівносильними на деякій множині, якщо на цій множині вони мають одні й ті самі розв’язки, тобто якщо кожен розв’язок першої нерівності є розв’язком другої і, навпаки, кожен розв’язок другої нерівності є розв’язком першої.

Домовимося, що надалі всі рівносильні перетворення нерівностей будемо виконувати на ОДЗ заданої нерівності. Зазначимо, що у випадку, коли ОДЗ заданої нерівності є множина всіх дійсних чисел, ми не завжди будемо її записувати (як не записували ОДЗ при розв’язуванні лінійних чи квадратних нерівностей). І в інших випадках головне — не записати ОДЗ до розв’язання нерівності, а дійсно врахувати її, виконуючи рівносильні перетворення заданої нерівності.