+_Algebra10_Nelin_profil

§ 6. Рівняння і нерівності з параметрами  121

Дослідження кількості розв’язків рівнянь та їх систем. При розв’язуванні деяких завдань із параметрами можна користуватися таким орієнтиром: якщо в завданні з параметрами йдеться про кількість розв’язків рівняння (нерівності або системи), то для аналізу заданої ситуації часто зручно використовувати графічну ілюстрацію розв’язування.

Достатньо простим є відповідне дослідження в тому випадку, коли задане рівняння можна подати у вигляді f (x) = a, оскільки графік функції y = a — це пряма, паралельна осі Оx (яка перетинає вісь Оy у точці a). Відзначимо, що, замінюючи задане рівняння на рівняння f (x) = a, потрібно слідкувати за рівносильністю виконаних перетворень, щоб одержане рівняння мало ті самі корені, що й задане, а отже, і кількість коренів у них буде однаковою. Для того щоб визначити, скільки коренів має рівняння f (x) = a, достатньо визначити, скільки точок перетину має графік функції y = f (x) з прямою y = a при різних значеннях параметра a. (Для цього на відповідному рисунку доцільно зобразити всі характерні положення прямої.)

Приклад 2. Скільки коренів має рівняння | x2 – 4 | x || = a залежно від значення параметра а?

Зазначимо, що значну кількість дослідницьких завдань не вдається розв’язати безпосередніми обчисленнями (або такі обчислення є дуже громіздкими). Тому часто доводиться спочатку обґрунтувати якусь властивість заданого рівняння або нерівності, а потім, користуючись цією властивістю, давати відповідь на запитання задачі.

Наприклад, беручи до уваги парність функцій, що входять до запису заданого рівняння, можна використовувати такий орієнтир.

Якщо в рівнянні f (х) = 0 функція f (х) є парною або непарною, то разом з будь-яким коренем α ми можемо вказати ще один корінь цього рівняння (–α).

Приклад 3. Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння

§ 6. Рівняння і нерівності з параметрами  123

§ 6. Рівняння і нерівності з параметрами  125

Пояснення й обґрунтування

Для обґрунтування зазначених умов достатньо скористатися тим, що графік функції f (x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) — суцільна (нерозривна1) лінія. Якщо така функція на кінцях якогось проміжку набуває значень з різними знаками (тобто відповідні точки графіка розташовані в різних півплощинах відносно осі Оx), то всередині цього проміжку є принаймні одна точка, у якій функція дорівнює нулю (рис. 61).

Наприклад, для того щоб два різні корені квадратного тричлена f (x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) при a > 0 були розміщені по різні боки від заданого числа A, достатньо зафіксувати тільки одну умову: f (A) < 0 (рис. 62).

Дійсно, графік квадратичної функції f (x) = ax2 + bx + c при a > 0 —

парабола, вітки якої напрямлено вгору. Тоді у випадку, коли аргумент x прямує до +∞ або до –∞ (це позначають зазвичай так: х → +∞ або х → –∞), функція f (x) прямує до +∞ (f (x) → +∞), отже, f (x) > 0 при х → +∞ або при х → –∞. Якщо виконується умова f (A) < 0, то зі зміною значення аргументу x від A до +∞ квадратична функція f (x) змінює свій знак з «–» на «+», отже, f (x) має принаймні один

корінь x2 > A.

Так само зі зміною значення аргументу x від –∞ до A квадратична функція f (x) змінює свій знак з «+» на «–», отже, f (x) має при-

наймні один корінь x1 < A. Але квадратний тричлен f (x) не може мати більше двох коренів, отже, при a > 0 умова f (A) < 0 необхідна і достатня для того, щоб два різні корені квадратного тричлена роз-

міщувалися по різні боки від заданого числа A.

Аналогічні міркування при a < 0 показують, що для виконання цієї cамої вимоги необхідно і достатньо, щоб f (A) > 0. Ці дві умови можна об’єднати в одну: a•f (A) < 0.

1 Відповідну властивість буде обґрунтовано більш строго в 11 класі під час розгляду так званих неперервних функцій.

126  Розділ 1. ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

квадратний тричлен f (x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) має два різні

корені, що знаходяться по різні боки від заданого числа A,

тоді і тільки тоді, коли виконується умова a•f (A) < 0.

Аналогічно можна обґрунтовати й інші умови, наведені в таблиці 16.

Зауважимо, що наведені умови не обов’язково запам’ятовувати: для їхнього запису можна користуватися графіком квадратичної функції (зображеним для потрібного розміщення коренів) і таким орієнтиром.

Для того щоб корені квадратного тричлена f (x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) були розміщені заданим чином відносно даних чисел A і B, необхідно і достатньо виконання системи умов, яка включає:

1)знак коефіцієнта при старшому члені;

2)знаки значень f (A) і f (B);

3)знак дискримінанта D;

4)положення абсциси вершини параболи (x0 = −2ba) відносно даних чисел A і B.

Зазначимо, що для випадків, у яких хоча б одне з даних чисел розміщено між коренями квадратного тричлена (див. другий, п’ятий, шостий і сьомий рядки табл. 16), достатньо, щоб виконувалися перші дві умови цього орієнтира, а для інших випадків доводиться розглядати всі чотири умови. Зауважимо також, що, записуючи кожну з указаних умов, слід розглядати, чи виконуватиметься вимога задачі в тому випадку, якщо в цій умові записати знак нестрогої нерівності.

Приклад 1. Знайдіть усі значення параметра а, для яких рівняння ax2 – x + 3a = 0 має один корінь більший за 2, а другий — менший від 1.

Коментар

Оскільки задане рівняння має два різних корені, то воно квадратне

відь на запитання задачі, достатньо розв’язати сукупність із двох систем

розв’язування достатньо громіздкий.

Спробуємо скористатися умовами розміщення коренів квадратного тричлена. Для цього можна безпосередньо використати відповідні умови, зафіксовані в таблиці 16, або отримати їх за допомогою запропонованого орієнтира. Зокрема, позначимо f (x) = ax2 – x + 3a і зобразимо

§ 6. Рівняння і нерівності з параметрами  127

графік квадратичної функції f (x) (параболу) в таких положеннях, які задовольняють умові задачі (рис. 63, а і б).

Для того щоб корені квадратного тричлена розміщувалися по різні боки від чисел 1 і 2, необхідно і достатньо, щоб виконувалася сукупність

і f (1) та а і f (2) протилежні, тому цю сукупність систем можна заміни-

Розв’язуємо нерівності (1) і (2) і знаходимо спільний розв’язок системи (рис. 64).

Відповідь: задане рівняння має один корінь, більший за 2, а другий — менший від 1 при a (0; 14).