- •Тема III. Постійний електричний струм. 76
- •Тема VIII Випромінювання емх.. 135
- •2. Класична теорія електромагнетизму
- •3. Два види електричних зарядів
- •На відміну від зарядів, емп розподіляється у просторі неперервно. У цьому полягає одна з істотних відмін поля від частинок у класичній (не квантовій) фізиці.
- •4. Принцип близькодії
- •5. Деякі відомості з векторного аналізу
- •Деякі формули векторного аналізу.
- •Додаток Криволінійні координати
- •1.Закон Кулона
- •1)Закон Кулона стосується точкових зарядів;
- •3. Теорема Гауса
- •4.Потенціальний характер електростатичного поля
- •5.Скалярний потенціал.
- •6.Рівняння Пуассона і Лапласа
- •7. Загальний розв’язок рівняння Пуассона
- •8.Основні завдання електростатики
- •9. Теорема єдиності.
- •10.Енергія взаємодії електричних зарядів
- •11.Енергія електростатичного поля
- •12. Нестійкість електростатичних систем. Теорема Ірншоу.
- •13.Поле системи зарядів на далеких віддалях
- •14.Квадрупольний момент
- •15.Поверхневі і об’ємні заряди. Зв’язок між векторами е, d і р.
- •16. Діелектрики. Вектор поляризації.
- •17. Полярні діелектрики.
- •18.Умови на границі поділу двох діелектриків. А)Нерозривність нормальної компоненти d.
- •Б)Нерозривність тангенціальних компонент вектора е .
- •В)Закон заломлення ліній індукції на межі поділу двох діелектриків .
- •Г) Система рівнянь Максвелла для есп в діелектриках.
- •19. Електричне поле поляризованого тіла.
- •20. Електростатичне поле в провідниках.
- •21. Метод відображень.
- •Тема III. Постійний електричний струм.
- •1. Диференціальна форма законів Ома і Джоуля-Ленца
- •2. Умови стаціонарності струмів
- •3. Рівняння неперервності (закон збереження заряду)
- •4.Фактори існування постійного струму.
- •1. Поле всередині провідника.
- •2.Механізм існування постійного струму.
- •Тема IV Стаціонарне магнітне поле.
- •1. Магнітне поле струмів. Закон Біо-Савара-Лапласа. Закон Ампера.
- •2. Вектор-потенціал магнітного поля.
- •3. Циркуляція напруженості магнітного поля.
- •4. Рівняння Максвела для магнітного поля.
- •5.Магнітне поле струмів в однорідних магнетиках. Вектор в.
- •6.Сила Лоренца.
- •7. Пондеромоторна взаємодія струмів.
- •8. Коефіцієнт взаємної індукції.
- •Тема V: Квазістаціонарне електромагнітне поле
- •2.Інтегральна та диференціальна форма закону індукції Фарадея.
- •3. Енергія магнітного поля.
- •2*.Енергія магнітного поля (строге доведення).
- •Тема VI Змінне електорамагнітне поле
- •1.Струми зміщення.
- •2. Повна система рівнянь Максвела.
- •3.Загальний розв’язок рівнянь Максвела за допомогою скалярного та векторного потенціалів.
- •4.Теорема і вектор Умова—Пойтінга. Імпульс електромагнітного поля
- •Додаток:
- •Тема VII елektpomaгнітні хвилі
- •1. Хвильове рівняння
- •2. Плоскі електромагнітні хвилі
- •4. Властивості плоскої монохроматичної електромагнітної хвилі
- •4.Електромагнітні хвилі можна представити як потік релятивістських частинок.
- •5 . Фазова і групова швидкості
- •5. Відбивання і заломлення світла на межі двох діелектриків
- •7. Розповсюдження емх у діелектрику
- •8. Розповсюдження електромагнітних хвиль у провіднику.
- •9. Скін-ефект
- •Тема VIII Випромінювання емх..
- •1.Потенціали, що запізнюються.
- •2.Поле системи зарядів на далеких віддалях.
- •3. Дипольне випромінювання.
- •4. Інтенсивність випромінювання.
- •5.Випромінювання гармонійного осцилятора.
- •6.Випромінювання рамкової антени.
- •7. Розсіювання електромагнітних хвиль зарядами.
- •8. Реакція випромінювання
- •Тема X. Електродинаміка матеріальних середовищ.
- •1.Рівняння поля в середовищі.
- •2.Усереднення рівнянь Лоренца. Зв’язок між векторами h, b, j.
- •3.Електричні властивості діелектриків. Електронна теорія орієнтаційного механізму поляризації.
- •4.Магнітні властивості речовин.
- •Тема X Релятивіська електродинаміка.
- •1. Інваріантність рівнянь Максвела відносно перетворень Лоренца.
- •2.1.Аберація світла.
- •2.2.Ефект Доплера.
- •3. Рівняння поля в тензорній формі
- •4. Перетворення електричних і магнітних полів
- •5. Інваріанти електричного і магнітного полів
3. Теорема Гауса
Безпосереднє застосування закону Кулона і принципу суперпозиції полів для визначення напруженості електростатичного-поля часто приводить до надто громіздких обчислень, які важко провести до кінця. У багатьох випадках ця задача може бути істотно спрощена, якщо скористатися деякими теоремами про загальні властивості електростатичного поля. У цьому параграфі буде встановлена одна з таких загальних теорем — теорема Гауса.
Теорема Гауса має для теорії поля і принципове значення. Справа в тому, що математична форма закону Кулона відповідає ідеї далекодії (силова дія двох зарядів на відстані). Теорема Гауса дасть можливість перейти до диференціальної форми основних рівнянь електростатичного поля, завдяки чому і форма рівнянь електростатики буде узгоджена з теорією близькодії.
нормалі до цієї площадки. Потоком вектора E через площадку dS у напрямі нормалі n називають величину
dN=En dS (3.1)
тобто добуток нормальної складової вектора на площу dS. Потік може бути додатним або від'ємним залежно від того, додатна чи від'ємна проекція Еn (мал. 5). Потік напруженості N через замкнену поверхню S є сумою елементарних потоків, тобто:
(3.2)
де інтеграл поширюється на всю замкнену поверхню S. У формулі (3.2) Еn є проекція напруженості на зовнішню, нормаль до поверхні S.
Розглянемо найпростіший випадок: припустимо, що поле, створене ізольованим позитивним точковим зарядоме і, що поверхня є сфера, радіусом r, в центрі якої розміщений точковий заряд. Чому дорівнює потік N через таку поверхню?
Відповісти на це питання легко, оскільки величина напруженості Е в кожній точці поверхні дорівнює k·e/r2, а його напрям співпадає із зовнішньою нормаллю до поверхні. Таким чином, ми маємо
N=E·(всю площу)= k·e/r2·4πr2=1/εε0·e
Як бачимо, потік не залежить від розмірів сфери. Можна показати, що потік N через замкнуту поверхню не залежить від її розмірів і форми.
Для строгого доведення теореми Гауса обчислимо спочатку потік напруженості поля окремого точкового заряду. Якщо заряд е розміщений у точці О на відстані r від площинки dS, то елементарний потік напруженості дорівнюватиме:,
dN=En dS =EcosφdS (3.3)
де φ—кут між напрямами векторів E i n (мал. 6). Скориставшись формулою (2.3), знайдемо:
(3.4)
Побудуємо конус з вершиною в точці О, твірні якого мають за основу точки контуру елементарної площинки dS. Цей конус вирізує на поверхнях двох концентричних сфер з радіусами r i l, центри яких містяться в точці О, елементарні площинки dΣ і dΣ'′ відповідно. Кут між площадками dS і dΣ дорівнює φ — кутові між нормалями до цих площинок. Площадку dΣ можна розглядати як проекцію площадки dS на поверхню сфери; тому маємо рівність:
dΣ= dScosφ (3.5)
Але площі сфер відносяться як квадрати їх радіусів, тобто
(3.6)
де через dω позначено спільне значення написаних відношень: dω приймають за величину тілесного кута, під яким видно елемент dS з точки О. Використавши співвідношення (3.5) і (3.6), перепишемо елементарний потік напруженості (3.4) у вигляді
(3.7)
Домовимось тілесний кут dω вважати додатним тоді, коли кут φ між напрямами векторів E і n гострий, і від'ємним, якщо кут φ тупий. При цій умові формула (3.7) справедлива для обох можливих виборів напряму нормалі n до площинки dS, яка до того ж може бути орієнтована в просторі цілком довільно.
Ми знайшли елементарний потік dN, і тепер можна приступити до обчислення потоку напруженості електростатичного поля через довільну замкнену поверхню. При цьому нам доведеться розглядати два можливі випадки розміщення заряду відносно поверхні.
а) Точковий заряд е міститься всередині замкненої поверхні S. Конус з вершиною в точці О і з тілесним кутом dω вирізує на поверхні S непарну кількість елементарних площадок dS (на мал. 7—три: dS1, dS2, dS3). Потоки напруженості поля через ці площинки в напрямі зовнішньої нормалі до поверхні S, згідно з (3.7),за величиною всі рівні, але їх знаки чергуються: dN1>0, dN2>0, dN3>0.
Кількість елементарних площадок може бути більшою за три; взагалі dNk>0 для тих площадок dSk які видно з точки О з внутрішнього боку поверхні S, і dNk<0 для елементів dSk, які видно з точки О з зовнішнього боку поверхні. Тому сума потоків напруженості поля через усі площинки, вирізані на поверхні S елементарним конусом, дорівнює потокові через першу площадку dS1 і за формулою (3.7) знаходимо:
Додаючи потоки для всіх елементарних конусів із спільною вершиною в точці О, знайдемо:
(3.8)
тому що повний тілесний кут дорівнює 4π стерадіанів.
Отже, якщо заряд, що створює поле, міститься всередині замкненої поверхні S, то потік напруженості електростатичного поля через поверхню S зсередини назовні дорівнює алгебраїчній величині заряду, поділеній на електричну сталу.
Цей результат легко поширити на випадок, коли електростатичне поле створюється довільною кількістю точкових зарядів e1, e2, . . . , розміщених усередині поверхні. Дійсно, складова напруженості поля вздовж напряму нормалі n дорівнює алгебраїчній сумі складових, зумовлених кожним із зарядів; тоді потік дорівнюватиме:
dN=EndS=(E1n+ E2n+…)dS= E1ndS+ E2ndS+...,
або
dN= dN1+ dN2+...,
Інтегруючи цю рівність по довільній замкненій поверхні, знайдемо:
N = N1+ N2+…,
і, згідно з (3.8),
(3.9)
б) Точковий заряд е міститься зовні від замкненої поверхні S. Тоді кількість площадок dSk вирізаних на поверхні S елементарним конусом, парна. Тому для кожного елементарного конуса потік dN дорівнює нулю, бо він є сумою парного числа однакових за величиною доданків, знаки яких чергуються. Потік напруженості через усю замкнену поверхню S дорівнює, очевидно, теж нулю:
Мал.7
N=0 (3.10)
Отже, у випадку, коли точковий заряд (або довільна їх кількість) міститься зовні від замкненої поверхні S, потік напруженості електростатичного поля через цю поверхню дорівнює нулю.
Обидва розглянуті випадки (заряди всередині поверхні і заряди поза поверхнею) охоплюються однією формулою:
(3.11)
де e1, e2, . . . ,en—тільки ті заряди, що містяться всередині поверхні.
З (3.11) і випливає формулювання теореми Гауса:
потік N вектора напруженості електростатичного поля через довільну замкнену поверхню S зсередини назовні дорівнює алгебраїчній сумі тих зарядів еi які містяться всередині поверхні, поділеній на електричну сталу ε0.
Теорема Гауса поширюється також на випадок, коли електростатичне поле створено не точковими, а довільними об'ємними або поверхневими зарядами. Справді, такі заряди можна роздробити на сукупність елементарних зарядів ρi△vi, і σi△Si. Застосувавши рівність (3.11) до цієї сукупності зарядів, знайдемо:
Перейдемо до границі при умові △vi→0 i △Si→0 ; тоді дістанемо:
(3.12)
Згідно з теоремою Гаусса потік вектора напруженості поля Е через замкнену; поверхню може бути відмінним від нуля тільки тоді, коли всередині поверхні є заряди. Позитивному заряду відповідає додатний потік напруженості, негативному — від'ємний. Отже. заряди є своєрідними джерелами і стоками потоку напруженості поля, або, коротше, джерелами поля (додатними чи від'ємними).Усе це можна унаочнити, проводячи в полі силові лінії, які наче виходять з позитивних зарядів і входять у негативні. Тому позитивні заряди можна розглядати (умовно) як джерела поля, а негативні — як його стоки. Наочну геометричну модель силових ліній поля можна поглибити ще й далі, домовившись про певну густоту ліній; це приводить до поняття силових трубок.
Приклад 1, Напруженість поля, рівномірно зарядженої нескінченної площини. Нехай електростатичне поле створено поверхневими позитивними зарядами, розміщеними із сталою густиною σ на нескінченній площині. З міркувань симетрії зрозуміло, що лінії напруженості поля перпендикулярні до площини і напрямлені від неї.
Мал.8
Визначимо величину напруженості поля в точці А, яка лежить на відстані а від площини.
Застосовуємо теорему Гауса до потоку через поверхню циліндра, зображеного на мал.8 (основи циліндра рівновіддалені від зарядженої площини, а твірні перпендикулярні до неї). Величина напруженості поля на обох основах однакова. Очевидно, потік напруженості поля через бічну поверхню циліндра дорівнює нулю, бо лінії напруженості паралельні бічній поверхні. Тому повний потік N складається з рівних за величиною потоків через дві основи циліндра. Обидва ці потоки додатні і кожний з них дорівнює добуткові величини напруженості Е на площу основи S:
N=N1+N2=ES+ES=2ES
За теоремою Гауса потік N дорівнює зарядові σS, розміщеному всередині циліндричної поверхні, поділеному на ε00;
звідки шукана напруженість Е- дорівнюватиме:
мал.9
(3.13)
Виходить, що величина напруженості Е не залежить від відстані точки А до площини. Тому скрізь, справа і зліва від нескінченної зарядженої площини, електричне поле однорідне.
Звернемо увагу на те, що поверхневий заряд σ площини зумовлює стрибок нормальної складової напруженості (мал. 9) на величину:
(3.14)
Якщо площина заряджена негативно, напруженість поля напрямлена скрізь до площини.
Приклад 2. Поле двох нескінченних паралельних площин, заряджених різнойменними зарядами з густиною +σ і -σ . Напруженість поля двох площин можна обчислити геометричним додаванням напруженостей полів окремих площин. Очевидно, напруженості полів обох площин у просторі між ними напрямлені в один бік, так що повна напруженість дорівнюватиме:
(3.15)
У просторі поза площинами напруженості, створювані окремими площинами, за абсолютною величиною рівні, але протилежно напрямлені. Тому повна напруженість у просторі поза площинами дорівнюватиме нулю:
Отже, при двох паралельних різнойменно заряджених (з однаковою поверхневою густиною)
нескінченних площинах електростатичне поле існує тільки між ними.
Додаток
Використовуючи векторну теорему Гауса, рівність (3.12) можна переписати:
Остання рівність повинна мати місце незалежно від вибору від вибору області інтегрування V, що можливе лише у тому випадку, коли підінтегральні вирази дорівнюватимуть один одному в кожній точці простору:
Можна сказати, що дивергенція електричного поля міняється в тих і тільки в тих точках поля, в яких знаходяться електричні заряди.
Таким чином, можна зробити висновок, що електростатичне поле створюють електричні заряди, тобто електричні заряди є причиною (джерелом) електричного поля.