- •Тема III. Постійний електричний струм. 76
- •Тема VIII Випромінювання емх.. 135
- •2. Класична теорія електромагнетизму
- •3. Два види електричних зарядів
- •На відміну від зарядів, емп розподіляється у просторі неперервно. У цьому полягає одна з істотних відмін поля від частинок у класичній (не квантовій) фізиці.
- •4. Принцип близькодії
- •5. Деякі відомості з векторного аналізу
- •Деякі формули векторного аналізу.
- •Додаток Криволінійні координати
- •1.Закон Кулона
- •1)Закон Кулона стосується точкових зарядів;
- •3. Теорема Гауса
- •4.Потенціальний характер електростатичного поля
- •5.Скалярний потенціал.
- •6.Рівняння Пуассона і Лапласа
- •7. Загальний розв’язок рівняння Пуассона
- •8.Основні завдання електростатики
- •9. Теорема єдиності.
- •10.Енергія взаємодії електричних зарядів
- •11.Енергія електростатичного поля
- •12. Нестійкість електростатичних систем. Теорема Ірншоу.
- •13.Поле системи зарядів на далеких віддалях
- •14.Квадрупольний момент
- •15.Поверхневі і об’ємні заряди. Зв’язок між векторами е, d і р.
- •16. Діелектрики. Вектор поляризації.
- •17. Полярні діелектрики.
- •18.Умови на границі поділу двох діелектриків. А)Нерозривність нормальної компоненти d.
- •Б)Нерозривність тангенціальних компонент вектора е .
- •В)Закон заломлення ліній індукції на межі поділу двох діелектриків .
- •Г) Система рівнянь Максвелла для есп в діелектриках.
- •19. Електричне поле поляризованого тіла.
- •20. Електростатичне поле в провідниках.
- •21. Метод відображень.
- •Тема III. Постійний електричний струм.
- •1. Диференціальна форма законів Ома і Джоуля-Ленца
- •2. Умови стаціонарності струмів
- •3. Рівняння неперервності (закон збереження заряду)
- •4.Фактори існування постійного струму.
- •1. Поле всередині провідника.
- •2.Механізм існування постійного струму.
- •Тема IV Стаціонарне магнітне поле.
- •1. Магнітне поле струмів. Закон Біо-Савара-Лапласа. Закон Ампера.
- •2. Вектор-потенціал магнітного поля.
- •3. Циркуляція напруженості магнітного поля.
- •4. Рівняння Максвела для магнітного поля.
- •5.Магнітне поле струмів в однорідних магнетиках. Вектор в.
- •6.Сила Лоренца.
- •7. Пондеромоторна взаємодія струмів.
- •8. Коефіцієнт взаємної індукції.
- •Тема V: Квазістаціонарне електромагнітне поле
- •2.Інтегральна та диференціальна форма закону індукції Фарадея.
- •3. Енергія магнітного поля.
- •2*.Енергія магнітного поля (строге доведення).
- •Тема VI Змінне електорамагнітне поле
- •1.Струми зміщення.
- •2. Повна система рівнянь Максвела.
- •3.Загальний розв’язок рівнянь Максвела за допомогою скалярного та векторного потенціалів.
- •4.Теорема і вектор Умова—Пойтінга. Імпульс електромагнітного поля
- •Додаток:
- •Тема VII елektpomaгнітні хвилі
- •1. Хвильове рівняння
- •2. Плоскі електромагнітні хвилі
- •4. Властивості плоскої монохроматичної електромагнітної хвилі
- •4.Електромагнітні хвилі можна представити як потік релятивістських частинок.
- •5 . Фазова і групова швидкості
- •5. Відбивання і заломлення світла на межі двох діелектриків
- •7. Розповсюдження емх у діелектрику
- •8. Розповсюдження електромагнітних хвиль у провіднику.
- •9. Скін-ефект
- •Тема VIII Випромінювання емх..
- •1.Потенціали, що запізнюються.
- •2.Поле системи зарядів на далеких віддалях.
- •3. Дипольне випромінювання.
- •4. Інтенсивність випромінювання.
- •5.Випромінювання гармонійного осцилятора.
- •6.Випромінювання рамкової антени.
- •7. Розсіювання електромагнітних хвиль зарядами.
- •8. Реакція випромінювання
- •Тема X. Електродинаміка матеріальних середовищ.
- •1.Рівняння поля в середовищі.
- •2.Усереднення рівнянь Лоренца. Зв’язок між векторами h, b, j.
- •3.Електричні властивості діелектриків. Електронна теорія орієнтаційного механізму поляризації.
- •4.Магнітні властивості речовин.
- •Тема X Релятивіська електродинаміка.
- •1. Інваріантність рівнянь Максвела відносно перетворень Лоренца.
- •2.1.Аберація світла.
- •2.2.Ефект Доплера.
- •3. Рівняння поля в тензорній формі
- •4. Перетворення електричних і магнітних полів
- •5. Інваріанти електричного і магнітного полів
5.Скалярний потенціал.
Визначення:
різниця потенціалів між двома точками електростатичного поля дорівнює взятій з протилежним знаком роботі, яка здійснюється силами поля при переміщенні одиничного позитивного заряду.
Таким чином , різниця потенціалів ¶ φ між двома нескінчено близькими точками, розділеними віддалю d l, дорівнює:
(11)
(12)
Причому, цей інтеграл може бути взятий по довільному шляху, який з’єднує точки P і P0.
Якщо зафіксувати значення потенціалу в деякій одній точці поля, значення його в усіх інших точках поля однозначно визначається рівнянням (12).
Як правило, адитивну постійну у виразі потенціалу вибирають так, щоб потенціал φ¥ нескінченно віддалених точок дорівнював 0, тобто φ¥ = 0.
При цьому потенціал φ довільної точки поля P визначається таким виразом:
(13)
Таким чином, потенціал точки P буде дорівнювати роботі, яка здійснюється силами поля при переміщенні одиничного позитивного заряду з точки P в нескінченість.
Рівноцінне визначення:
Потенціал поля в даній точці чисельно рівний роботі зовнішніх сил проти поля при переміщенні одиничного позитивного заряду з нескінченості в цю точку. Очевидно, що робота зовнішніх сил при переміщенні заряду з нескінченості в дану точку поля переходить в його потенціальну енергію, -A¥ = W.
Значить φ = W/q Þ потенціал поля в даній точці чисельно дорівнює потенціальній енергії одиничного позитивного заряду, поміщеного в цю точку.
Якщо в точці з потенціалом φ знаходиться заряд q, то він має потенціальну енергію
W = qφ.
Тому
У полі елементарного (точкового) заряду різниця потенціалів між точками P і P0 згідно (7) дорівнює:
(14)
У цьому випадку, для того, щоб виконувалася умова φ¥ = 0 , достатньо , очевидно, покласти φ0 = k(q/R0); тоді потенціал поля точкового заряду q на віддалі R від нього буде дорівнювати
; (15)
Потенціал поля довільної системи точкових зарядів дорівнює сумі потенціалів полів кожного з цих зарядів зокрема.
де Ri- віддаль точки поля, яка має потенціал φ, від заряду qi.
(16)
Остання умова—це принцип суперпозиції, поширений на поняття потенціалу.
При наявності поверхневих зарядів заряд кожної поверхні може бути розкладений на сукупність елементарних зарядів нескінченно малих елементів поверхні dS:
dq = σ dS (17)
В цьому випадку формула (16) перепишеться
(18)
В полі об’ємних зарядів одержимо
(19)
В абсолютній системі одиниць потенціал визначається так: різниця потенціалів двох точок поля дорівнює одиниці, якщо при переміщенні одиничного позитивного заряду з однієї точки поля в іншу , сили виконують роботу , що дорівнює одному ергу.
Ця одиниця потенціалу велика порівняно з тими, з якими приходиться мати справу на практиці, тому практичною одиницею потенціалу служить 1В.
абсолютна одиниця потенціалу.
6.Рівняння Пуассона і Лапласа
Теорема Остроградського – Гауса у формі
(1)
пов’язує значення електричної напруженості в точках деякої замкнутої поверхні з величиною заряду, який знаходиться в середині об’єму , який обмежений цією поверхнею, тобто пов’язує величини, які відносяться до різних точок поля. Можна , однак, надати цій теоремі таку форму, щоб в неї входили величини, які відносяться до однієї і тієї ж точки поля.
Будемо вважати, що заряди рівномірно розподілені по деякому об’єму V з густиною ρ.
Об’ємна густина визначається співвідношенням:
у випадку , якщо заряд розміщений по об’єму ΔV нерівномірно. Для рівномірного розподілу справедливе співвідношення: ρ = q/V. Праву частину рівності (1) можна записати у вигляді інтегралу
(2)
Перетворимо ліву частину згідно теореми Гауса
(3)
Підставимо (3) в (2), одержимо
(4)
Оскільки V- об’єм довільний, тому правильна рівність
(5)
Формула (5) описує рівняння Гауса у диференціальній формі.
Оскільки не завжди зручно використовувати компоненти вектора напруженості
(Ex, Ey, Ez), то використовують формулу, яка поєднує напруженість E з потенціалом φ); тому
(6)
або, згідно правил векторного аналізу,
Таким чином,
Ñ2φ=- ρ/ε0(7)
Це диференціальне рівняння носить назву рівняння Пуассона. В тих ділянках поля , в яких немає електричних зарядів, це рівняння перетворюється в нуль (ρ = 0):
(8)
Цей частинний вид рівняння Пуассона називається рівнянням Лапласа.
Величину Ñ2φ іноді позначають через Δφ і називають лапласіаном скаляра φ.
Рівняння Пуассона дає можливість визначити потенціал поля об’ємних зарядів, якщо відоме розміщення цих зарядів. Розв’язок (інтеграл) цього диференціального рівняння ( при певних граничних умовах) повинен, очевидно, співпадати з виведеною нами раніше формулою
(9)
Наразі відмітимо, що для розв’язку деяких задач зручніше виходити не з інтегралу (9), а безпосередньо з диференціального рівняння (7)
Самі функції, які задовольняють рівнянням Лапласа, називаються гармонічними функціями .
Одна з властивостей гармонічних функцій: якщо функції φ(x, y, z) задовольняють рівняння Лапласа, то середнє значення φ по поверхні будь – якої сфери ( не обов’язково невеликої) дорівнює значенню φ в центрі сфери.
2.Вважаючи Ñ - вектором, одержимо, що його квадрат
співпадає з визначенням для лапласіана в декартових координатах. Тому лапласіан часто називають “ набла в квадраті” і ми говоримо “набла квадрат”
розуміючи “divgradφ”.
Зауваження: в інших системах координат , наприклад в сферичних (полярних) координатах визначення градієнта і визначення Лапласа не пов’язані між собою. Необхідно пам’ятати, що ґрунтовне визначення оператора Лапласа полягає в тому, що він є дивергенцією градієнта…)
Додаток
Зміна напруженості поля при переході через заряджену поверхню
Доведемо, що поверхневий заряд зумовлює стрибок напруженості в точках зарядженої поверхні.
Нехай S-заряджена поверхня, σ—поверхнева густина заряду. Позначимо через n одиничний вектор нормалі, проведений з довільної точки зарядженої поверхні S в одному певному з двох можливих напрямів. Виділимо на поверхні S елемент △S настільки малий, щоб його можна було вважати плоским і рівномірно зарядженим, і побудуємо на цьому елементі циліндр, висота якого
△h. Нехай M2—точка основи циліндра, яка міститься з того самого боку від поверхні S, що й нормаль n, а М1 — точка на протилежній основі циліндра (з іншого боку S). Одиничні нормалі, напрямлені назовні від циліндра, позначимо через n2 i n1 (мал. 3).
Потік напруженості Е через замкнену поверхню циліндра, згідно теореми Гауса, дорівнюватиме:
(1)
тому що всередині циліндра міститься заряд Δe = σΔS. Ліву частину рівності (1) подамо як алгебраїчну суму трьох доданків: двох, що характеризують потоки напруженості через дві основи циліндра, і ще одного, що характеризує потік напруженості через бічну поверхню циліндра. Оскільки висоту циліндра △h можна взяти якою завгодно малою при фіксованому △S, то при граничному переході, коли△h→0, потік через бічну поверхню зникатиме. Через це рівність (5.1) набирає вигляду:
E2n1ΔS+E1n1ΔS = 1/ε0∙σΔS
або
(2)
Тут Е1 і Е2 — вектори напруженості поля в точках М1 і М2, а , E1n1 i E2n2—проекції цих векторів на напрями n1 i n2 відповідно. Враховуючи, що в кожній точці поверхні S напрям n2, однаковий з напрямом n, а напрям n1 протилежний до n, матимемо: ,;
тоді рівність (2) можна записати так:
(3)
Складова напруженості поля Е в напрямі нормалі до зарядженої поверхні має в точках цієї поверхні розрив неперервності і змінюється стрибком на величину, що дорівнює поверхневій густині заряду, поділеній на електричну сталу.