- •Тема III. Постійний електричний струм. 76
- •Тема VIII Випромінювання емх.. 135
- •2. Класична теорія електромагнетизму
- •3. Два види електричних зарядів
- •На відміну від зарядів, емп розподіляється у просторі неперервно. У цьому полягає одна з істотних відмін поля від частинок у класичній (не квантовій) фізиці.
- •4. Принцип близькодії
- •5. Деякі відомості з векторного аналізу
- •Деякі формули векторного аналізу.
- •Додаток Криволінійні координати
- •1.Закон Кулона
- •1)Закон Кулона стосується точкових зарядів;
- •3. Теорема Гауса
- •4.Потенціальний характер електростатичного поля
- •5.Скалярний потенціал.
- •6.Рівняння Пуассона і Лапласа
- •7. Загальний розв’язок рівняння Пуассона
- •8.Основні завдання електростатики
- •9. Теорема єдиності.
- •10.Енергія взаємодії електричних зарядів
- •11.Енергія електростатичного поля
- •12. Нестійкість електростатичних систем. Теорема Ірншоу.
- •13.Поле системи зарядів на далеких віддалях
- •14.Квадрупольний момент
- •15.Поверхневі і об’ємні заряди. Зв’язок між векторами е, d і р.
- •16. Діелектрики. Вектор поляризації.
- •17. Полярні діелектрики.
- •18.Умови на границі поділу двох діелектриків. А)Нерозривність нормальної компоненти d.
- •Б)Нерозривність тангенціальних компонент вектора е .
- •В)Закон заломлення ліній індукції на межі поділу двох діелектриків .
- •Г) Система рівнянь Максвелла для есп в діелектриках.
- •19. Електричне поле поляризованого тіла.
- •20. Електростатичне поле в провідниках.
- •21. Метод відображень.
- •Тема III. Постійний електричний струм.
- •1. Диференціальна форма законів Ома і Джоуля-Ленца
- •2. Умови стаціонарності струмів
- •3. Рівняння неперервності (закон збереження заряду)
- •4.Фактори існування постійного струму.
- •1. Поле всередині провідника.
- •2.Механізм існування постійного струму.
- •Тема IV Стаціонарне магнітне поле.
- •1. Магнітне поле струмів. Закон Біо-Савара-Лапласа. Закон Ампера.
- •2. Вектор-потенціал магнітного поля.
- •3. Циркуляція напруженості магнітного поля.
- •4. Рівняння Максвела для магнітного поля.
- •5.Магнітне поле струмів в однорідних магнетиках. Вектор в.
- •6.Сила Лоренца.
- •7. Пондеромоторна взаємодія струмів.
- •8. Коефіцієнт взаємної індукції.
- •Тема V: Квазістаціонарне електромагнітне поле
- •2.Інтегральна та диференціальна форма закону індукції Фарадея.
- •3. Енергія магнітного поля.
- •2*.Енергія магнітного поля (строге доведення).
- •Тема VI Змінне електорамагнітне поле
- •1.Струми зміщення.
- •2. Повна система рівнянь Максвела.
- •3.Загальний розв’язок рівнянь Максвела за допомогою скалярного та векторного потенціалів.
- •4.Теорема і вектор Умова—Пойтінга. Імпульс електромагнітного поля
- •Додаток:
- •Тема VII елektpomaгнітні хвилі
- •1. Хвильове рівняння
- •2. Плоскі електромагнітні хвилі
- •4. Властивості плоскої монохроматичної електромагнітної хвилі
- •4.Електромагнітні хвилі можна представити як потік релятивістських частинок.
- •5 . Фазова і групова швидкості
- •5. Відбивання і заломлення світла на межі двох діелектриків
- •7. Розповсюдження емх у діелектрику
- •8. Розповсюдження електромагнітних хвиль у провіднику.
- •9. Скін-ефект
- •Тема VIII Випромінювання емх..
- •1.Потенціали, що запізнюються.
- •2.Поле системи зарядів на далеких віддалях.
- •3. Дипольне випромінювання.
- •4. Інтенсивність випромінювання.
- •5.Випромінювання гармонійного осцилятора.
- •6.Випромінювання рамкової антени.
- •7. Розсіювання електромагнітних хвиль зарядами.
- •8. Реакція випромінювання
- •Тема X. Електродинаміка матеріальних середовищ.
- •1.Рівняння поля в середовищі.
- •2.Усереднення рівнянь Лоренца. Зв’язок між векторами h, b, j.
- •3.Електричні властивості діелектриків. Електронна теорія орієнтаційного механізму поляризації.
- •4.Магнітні властивості речовин.
- •Тема X Релятивіська електродинаміка.
- •1. Інваріантність рівнянь Максвела відносно перетворень Лоренца.
- •2.1.Аберація світла.
- •2.2.Ефект Доплера.
- •3. Рівняння поля в тензорній формі
- •4. Перетворення електричних і магнітних полів
- •5. Інваріанти електричного і магнітного полів
11.Енергія електростатичного поля
Вираз електричної енергії у формі (10) може бути представлений в іншій математичній формі, причому це перетворення відкриває можливість зовсім нової фізичної інтерпретації.
Використаємо формулу Гріна:
(1)
де φ, ψ - неперервні скалярні функції в об'ємі, які мають неперервні похідні.
Покладемо ψ = φ і будемо вважати φ потенціалом поля. Приймемо до уваги, що
одержимо
(2)
Будемо вважати, що всередині об'єму V є заряджена поверхня S з поверхневою густиною σ. ρ об’ємна густина. Тепер безпосередньо до цього об’єму формулу Гріна застосовувати не можна, оскільки на зарядженій поверхні напруженість поля має розрив ( а теорема Гріна вимагає, щоб φ була неперервна і мала
неперервні похідні: E = -Ñφ
Оточимо поверхню S1 деякою поверхнею S'1. Тепер до об'єму V-V' = V1 теорему Гріна можна застосувати. Виберемо до поверхні S1 зовнішню нормаль N I n1, n2.- зовнішні нормалі до об'єму V-V' = V1 . Перепишемо формулу (2) для нашого випадку:
(3)
Будемо тепер стягувати поверхню S'1 так, щоб вона все щільніше прилягала до S1; в границі (S'1→S1 ) S'1 співпаде з S1 і інтегрування по S'1 зведеться до двохкратного інтегрування по поверхні S1: один раз по внутрішній (відносно нормалі N ), а другий раз по зовнішній стороні цієї поверхні:
де індексами 1 і 2 позначені значення підінтегральних виразів відповідно з зовнішньої ( відносно нормалі N ) і внутрішньої сторони поверхні S1.
тут використано , що φ1=φ2=φ - потенціал є неперервна функція. Оскільки N паралельна до n2 і антипаралельна n1 , то
¶φ/¶N- нормальна складова напруженості поля - En ; отже
Таким чином
(4)
Разом з тим при співпаданні S1 з S'1, V1 співпадає з об'ємом V , який обмежений поверхнею S, так, що рівняння (3) набирає виду :
(5)
розділивши обидві частини рівняння (5) на 8π, одержимо:
(6)
перші два члени правої частини цієї рівності аналогічні виразу (10) енергії W, але інтегрування поширено в даному випадку не по всіх зарядах, які знаходяться в полі, а лише по тих з них, які знаходяться всередині об’єму V. Сума цих членів не співпадає з взаємною енергією зарядів, які знаходяться всередині V, тому що значення потенціалу залежить також і від розміщення зарядів поза об'ємом V.
Поширимо інтегрування на все повне поле; під цим ми розуміємо, що область інтегрування V охоплює, по - перше, всі взаємодіючі заряди, і по - друге, все поле цих зарядів. В цьому випадку , як правило, границя повного поля прямує в нескінченість.
Термін "повне поле" застосовується до нескінченого об’єму V в тому і лише в тому випадку, якщо при граничному переході від скінченого об'єму V до нескінченновеликого інтеграли всіх величин, що нас цікавлять, на поверхні S цього об'єму прямують до нуля.
Це дійсно так, оскільки φ≈1/R, ¶φ/¶N≈¶φ/¶R≈1/R, S≈R2. Тому при
R→ ∞ φ¶φ/¶n≈R2/R3→0
Згідно сказаного, формула (6) перепишеться:
(7)
Таким чином електрична енергія повного поля :
(8)
З математичної точки зору це рівняння являє собою лише перетворену форму рівняння (10) і цілком йому еквівалентна. Але рівняння (7) має зовсім інший фізичний зміст, а саме:
носієм електричної енергії є електричне поле, причому енергія поля локалізована в просторі так, що в кожній одиниці об'єму міститься кількість енергії w , яка дорівнює
w = ½εε0E2 (9 )
де Е - напруженість електричного поля в даному елементі об’єму. Величина w може бути названа об'ємною густиною електричної енергії.
Формула (7) враховує і власну енергію зарядів, тобто енергію, що дорівнює роботі, яку здійснили б сили взаємного відштовхування між елементами заряду, якби ці елементи розліталися в сторони і віддалялися б в нескінченість .
Приклад : Розглянемо повну (тобто власну і взаємну ) енергію двох зарядів q1 і q2. Нехай кожен з них зокрема збуджує відповідне поле E1 і E2 ,так що результуюче поле обох зарядів дорівнює
E = E1+E2(* )
E = (E1+E2) = E21+E22+2(E1E2) (2*)
Повна енергія зарядів q1 і q2 згідно (3) дорівнює
(3*)
Або
W = W1+W2+W12(4*)
де W1, W2 - власні енергії зарядів q1, q2, а W12- їх взаємна енергія.
(E1-E2)2 ≥ 0 (так вибираємо), тому з цієї рівності слідує, що E21+E21≥2(E1E2)
так що
W1+W2≥ W12(5*)
Таким чином додатна власна енергія зарядів завжди більша (або в крайньому випадку дорівнює) їх взаємній енергії, яка може мати як додатне , так і від'ємне значення. Важливо відмітити, що енергія електричного поля не має властивості адитивності, тобто, що енергія поля , яка дорівнює Е , взагалі кажучи, не дорівнює сумі енергій складових полів.
Звернемося до різного змісту рівнянь (7), (9) та (10) і (2.7). Ці рівняння відрізняються тим, що
1.енергія W, яка визначається з (2.7) або (2.8) не може набувати від'ємних значень
тоді як
Це пояснюється тим, що в (7), (9) враховується взаємодія "точкових" зарядів, але не взаємодія окремих елементів кожного такого заряду між собою (власна енергія заряду)
2.Власна енергія заряду залежить, звичайно від розмірів заряду і дорівнює тій роботі, яку здійснили б сили взаємного відштовхування між елементами заряду, якби ці елементи розліталися в сторони і віддалялися б в нескінченість.
3.Додатня власна енергія зарядів завжди більша (або в крайньому разі дорівнює) їх взаємній енергії W1+W2 ≥ W12
W1+W2W12
4.Енергія електричного поля не має властивості адитивності
коли E = E1+E2 , то W ≠ W1+W2
W=W1+W2+W12
Додаток
Скористаємося формулою (10)
W=½∫ρφdV(1)
Використаємо:
divE=ρ/ε0 (2)
(2)→(1)
W= ½ ε0∫ φ div E dV (3)
Використаємо вираз з векторної алгебри:
div (φ E)=gradφ·E+φdivE→φdivE=div(φ·E)-Egradφ (4)
(4)→(3):
W=ε0/2∫div(φ·E)dV+ε0/2∫(-grad φ)EdV
Поширимо інтегрування по повному простору, тобто R→∞, скориставшись векторною теоремою Гауса:
∫div(φE)dV=∫φEdS|→∞→0
Таким чином:
W=ε0/2∫(-grad φ)EdV=∫(ε0E2/2)dV (5)