- •Тема III. Постійний електричний струм. 76
- •Тема VIII Випромінювання емх.. 135
- •2. Класична теорія електромагнетизму
- •3. Два види електричних зарядів
- •На відміну від зарядів, емп розподіляється у просторі неперервно. У цьому полягає одна з істотних відмін поля від частинок у класичній (не квантовій) фізиці.
- •4. Принцип близькодії
- •5. Деякі відомості з векторного аналізу
- •Деякі формули векторного аналізу.
- •Додаток Криволінійні координати
- •1.Закон Кулона
- •1)Закон Кулона стосується точкових зарядів;
- •3. Теорема Гауса
- •4.Потенціальний характер електростатичного поля
- •5.Скалярний потенціал.
- •6.Рівняння Пуассона і Лапласа
- •7. Загальний розв’язок рівняння Пуассона
- •8.Основні завдання електростатики
- •9. Теорема єдиності.
- •10.Енергія взаємодії електричних зарядів
- •11.Енергія електростатичного поля
- •12. Нестійкість електростатичних систем. Теорема Ірншоу.
- •13.Поле системи зарядів на далеких віддалях
- •14.Квадрупольний момент
- •15.Поверхневі і об’ємні заряди. Зв’язок між векторами е, d і р.
- •16. Діелектрики. Вектор поляризації.
- •17. Полярні діелектрики.
- •18.Умови на границі поділу двох діелектриків. А)Нерозривність нормальної компоненти d.
- •Б)Нерозривність тангенціальних компонент вектора е .
- •В)Закон заломлення ліній індукції на межі поділу двох діелектриків .
- •Г) Система рівнянь Максвелла для есп в діелектриках.
- •19. Електричне поле поляризованого тіла.
- •20. Електростатичне поле в провідниках.
- •21. Метод відображень.
- •Тема III. Постійний електричний струм.
- •1. Диференціальна форма законів Ома і Джоуля-Ленца
- •2. Умови стаціонарності струмів
- •3. Рівняння неперервності (закон збереження заряду)
- •4.Фактори існування постійного струму.
- •1. Поле всередині провідника.
- •2.Механізм існування постійного струму.
- •Тема IV Стаціонарне магнітне поле.
- •1. Магнітне поле струмів. Закон Біо-Савара-Лапласа. Закон Ампера.
- •2. Вектор-потенціал магнітного поля.
- •3. Циркуляція напруженості магнітного поля.
- •4. Рівняння Максвела для магнітного поля.
- •5.Магнітне поле струмів в однорідних магнетиках. Вектор в.
- •6.Сила Лоренца.
- •7. Пондеромоторна взаємодія струмів.
- •8. Коефіцієнт взаємної індукції.
- •Тема V: Квазістаціонарне електромагнітне поле
- •2.Інтегральна та диференціальна форма закону індукції Фарадея.
- •3. Енергія магнітного поля.
- •2*.Енергія магнітного поля (строге доведення).
- •Тема VI Змінне електорамагнітне поле
- •1.Струми зміщення.
- •2. Повна система рівнянь Максвела.
- •3.Загальний розв’язок рівнянь Максвела за допомогою скалярного та векторного потенціалів.
- •4.Теорема і вектор Умова—Пойтінга. Імпульс електромагнітного поля
- •Додаток:
- •Тема VII елektpomaгнітні хвилі
- •1. Хвильове рівняння
- •2. Плоскі електромагнітні хвилі
- •4. Властивості плоскої монохроматичної електромагнітної хвилі
- •4.Електромагнітні хвилі можна представити як потік релятивістських частинок.
- •5 . Фазова і групова швидкості
- •5. Відбивання і заломлення світла на межі двох діелектриків
- •7. Розповсюдження емх у діелектрику
- •8. Розповсюдження електромагнітних хвиль у провіднику.
- •9. Скін-ефект
- •Тема VIII Випромінювання емх..
- •1.Потенціали, що запізнюються.
- •2.Поле системи зарядів на далеких віддалях.
- •3. Дипольне випромінювання.
- •4. Інтенсивність випромінювання.
- •5.Випромінювання гармонійного осцилятора.
- •6.Випромінювання рамкової антени.
- •7. Розсіювання електромагнітних хвиль зарядами.
- •8. Реакція випромінювання
- •Тема X. Електродинаміка матеріальних середовищ.
- •1.Рівняння поля в середовищі.
- •2.Усереднення рівнянь Лоренца. Зв’язок між векторами h, b, j.
- •3.Електричні властивості діелектриків. Електронна теорія орієнтаційного механізму поляризації.
- •4.Магнітні властивості речовин.
- •Тема X Релятивіська електродинаміка.
- •1. Інваріантність рівнянь Максвела відносно перетворень Лоренца.
- •2.1.Аберація світла.
- •2.2.Ефект Доплера.
- •3. Рівняння поля в тензорній формі
- •4. Перетворення електричних і магнітних полів
- •5. Інваріанти електричного і магнітного полів
3.Загальний розв’язок рівнянь Максвела за допомогою скалярного та векторного потенціалів.
Система рівнянь Максвела повністю описує електромагнітне поле за відомим розподілом зарядів і струмів. Електромагнітне поле в кожній точці простору і в кожний момент часу однозначно визначається цією системою, якщо тільки для моменту t=0 задані початкові значення векторів Е, Н в усіх точках простору.
Оскільки рівняння однозначні, то ми повинні знайти спосіб фактичного розв’язку цих рівнянь. У випадку стаціонарного ЕМП ця задача істотно полегшується введенням допоміжних величин - потенціалів φ, А . Тепер ми покажемо, що видозмінюючи певним чином визначення скалярного та векторного потенціалів, можна скористатися цими потенціалами для розв’язування рівнянь Максвела і в загальному випадку змінного поля.
Для визначення векторного потенціалу використаємо рівняння:
В=rot A(1)
де A=A(x,y,z) - допоміжна функція.
Звідси слідує:
div B=div rot A=0, тобтоdiv B=0 (2)
Якщо записати
і підставити (1) то
тому, що ∂/∂t i rot- не залежні операції (діють на різні змінні).
(3)
Таким чином вектор у дужках не має вихорів, але може мати джерела. Це рівняння буде виконуватися якщо покласти
Звідси
(4)
Отже, електричне поле породжується як електричними зарядами так і змінним магнітним полем.
Напруженість поля є мірою спаду потенціалу тому у формулі “мінус”. В загальному випадку електричне поле складається з вихрової та потенціальної частини, де φ - довільний скаляр тому, що ротор градієнта скалярної функції тотожно дорівнює нулю.
Виникає запитання: наскільки однозначно визначені величини, що входять у формулу (4).
З рівняння (1) можна сказати, що векторний потенціал заданий з точністю до градієнта деякої скалярної функції. Тобто:
(5)
Дійсно
Отже В=В'
З рівняння (4) слідує, що
(6)
Перевіримо
Отже Е'=Е тобто потенціали визначені неоднозначно, але задають одні і ті ж поля.
Той факт, що вони неоднозначні, дає можливість накладати на них додаткові умови, тобто калібрувати потенціал.
Вигляд калібровки вибирається так, щоб рівняння поля, записані через потенціали мали найпростіший вигляд.
Запишемо рівняння поля через потенціали.
Розглянемо одне з рівнянь системи Максвела :
перепишемо його, підставляючи відомі вирази величин, що входять в рівняння:
Як відомо rotrotA=graddivA-Ñ2A , тому отримаємо, підставивши:
або
Для спрощення рівняння виберемо умову калібровки так:
(7)
Рівняння (7) називається калібровкою Лоренца. Дана калібровка приводить до вже використовуваного результату div A=0 для стаціонарних полів.
Тепер наше рівняння набере вигляду:
(8)
Дане рівняння називається рівнянням Даламбера для A, його розв’язки відомі з математичної фізики.
Розглянемо інше рівняння із системи рівнянь Максвелла: div D=ρ
або
перепишемо його, використовуючи калібровку Лоренца:
З калібровки Лоренца знайдемо
і підставивши у рівняння вище отримаємо:
(9)
Ми отримали рівняння Даламбера для φ. Рівняння (8) і (9) еквівалентні системі рівнянь Максвела. Хоча ці рівняння є диференціальними рівняннями другого порядку, але розв’язати їх легше ніж систему рівнянь Максвела.
Рівняння (7) (8) (9) дають можливість визначити значення скалярного потенціалу і векторного потенціалу електромагнітного поля за даним розподілом зарядів і струмів провідності; знаючи їх можна знайти значення напруженостей магнітних і електричних полів. Зауважимо, що хоча скалярний потенціал, як і у випадку стаціонарних полів, залежить лише від розподілу зарядів, а векторний – від розподілу струмів провідності, однак напруженість електричного поля залежить не лише від градієнта скалярного потенціалу; в цій області проявляється закон електромагнітної індукції.
Ввівши оператор Даламберa □=2 - εε0μμ0·∂2/∂t2 =2 - (1/v2)∂2/∂t2, де v- швидкість світла у середовищі; рівняння можна записати у вигляді:
□A=-μμ0 j(10)
□φ= - ρ/εε0(11)
У випадку стаціонарних полів (∂φ/∂t=0; ∂A/∂t=0) рівняння Даламбера вироджуються в рівняння Пуассона:
(12)
(13)
їх розв’язками в однорідному необмеженому просторі є інтегральні вирази. Так само і для рівнянь Даламбера:
(14)
(15)
де
де t'- описує час запізнення.