3.5. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду

Докажем эту теорему.

1. Пусть матрица линейного оператора в базисе e = (e1, e2 ,...,en ) имеет

a

0

...

0

11

a22

...

0

вид:

0

. Учитывая, что

i -й столбец матрицы линейного

A =

...

...

...

...

0

0

...

ann

оператора A

в

базисе e

является столбцом

координат вектора Aei ,

i =1, 2,..., n ,

в

базисе

e ,

получим:

Ae1 = (a11,0,...,0) = a11 e1 ,

Ae2 = (0,a22 ,...,0) = a22 e2 ,

…,

Aen = (0,0,...,ann ) = ann en .

Таким

образом,

вектор e1 является собственным вектором

оператора

A , отвечающим

собственному

значению

a11 ,

вектор e2

–

собственным

вектором,

2.

Пусть

векторы

базиса

e = (e1,

e2 ,...,en ) являются собственными

векторами оператора A ,

отвечающими собственным значениям λ1,λ2 ,...,λn

соответственно.

Тогда Ae1 = λ1 e1= (λ1,0,...,0) , Ae2 = λ2 e2 = (0,λ2 ,...,0) , …,

Aen = λn en = (0,0,...,λn ) .

Матрица линейного оператора в

базисе

λ

0 ...

0

1

e = (e

e

2

... e

n

) имеет вид: A =

0

λ2 ...

0

.

1

... ...

...

...

0

0 ...

λn

Замечание. Если матрица

линейного

оператора A :L → L в

базисе

e = (e1, e2 ,...,en )

является диагональной,

то на ее диагонали расположены

Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.

Действительно,

пусть

матрица линейного

оператора в некотором базисе

имеет вид

2

1

. Решим

характеристическое уравнение

A =

0

2

A − λE

=

2 − λ

1

= (2 − λ)2

= 0 . λ = 2 – корень характеристического

0

2 −

λ

уравнения кратности 2. Координаты собственного вектора, отвечающего

собственному значению λ = 2 , найдем из СЛАУ

(A − λE)

X =O при λ = 2 :

0 1

x

0

= 0

α . Таким

1

=

. Решение системы имеет вид: x =α, x

2

0 0

0

1

x2

образом,

x = (α,0) =α(1,0) для

любого действительного

α ≠ 0 , является

собственным вектором оператора A , отвечающим собственному значению

λ = 2 . Собственное подпространство линейного оператора

A ,

отвечающее

собственному

значению λ = 2

одномерно, а

оператор

A

действует

в

двумерном

пространстве. Поэтому в данном

линейном

пространстве

не

существует базиса, состоящего из собственных векторов оператора A ,

и,

1

1

1

виду.

1

– матрица линейного оператора в некотором базисе e .

A = 1

1

1 1

1

Указать базис

f , в котором матрица линейного оператора имеет

оператора

A .

Запишем

характеристическое

уравнение

A − λE

1 − λ

1

1

=

1

1 − λ

1

= 0 . Разложив определитель по первой строке,

1

1

1 − λ

приведем

характеристическое уравнение к виду λ2 (λ −3) = 0 .

λ = λ

2

= 0 ,

λ3 =3 –

1

корни характеристического уравнения. Чтобы построить базис из

x

+ x

2

+ x

= 0

1

3

СЛАУ имеет вид

x1

+ x2

+ x3

= 0 . Ранг матрицы системы равен 1, поэтому

x

+ x

2

+ x

= 0

1

3

Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.

ФСР системы состоит из

n − r =3 −1 = 2

решений. Вычеркнув из системы

второе и третье уравнение, придем

к

уравнению

x1 = −x2 − x3 .

Общее

−α − β

−1

−1

−1

α

1

0

α,

β , где

1

решение СЛАУ имеет вид X =

=α

+

β

и

β

0

1

0

−1

− 2x

+ x

+ x = 0

0

– ФСР системы. Для

λ3 =3 СЛАУ имеет вид

1

2

3

. Ранг

x1 − 2x2 + x3 = 0

1

x

+ x

2

−

2x = 0

1

3

α

1

решения. Решив СЛАУ,

получим общее решение системы X = α =α 1

α

1

1

α , где

– ФСР системы.

1

1

f1 = (−1,1,0) ,

f2 = (−1,0,1) ,

Таким

образом,

найденные векторы

f3 = (1,1,1)

образуют искомый базис, состоящий из собственных векторов

оператора

A . Матрица линейного оператора

в этом базисе

имеет

вид

0

0

0

Af

0

0

0

На диагонали

матрицы

Af

расположены

собственные

=

.

0

0

3

значения оператора A , повторяющиеся столько раз, какова их кратность.

Замечание. Матрица перехода от базиса

e к базису

f

имеет вид

−1 −1

1

T

=

1

0

1 , причем A

f

=T −1

A T

e→ f

(см. формулу (1) п. 3.3.).

e→ f

e→ f

0

1

1

1)

Α: Rn → Rn , x = (x ,..., x

n

)

Ax = (x ,..., x

k

,0,...,0) при фиксированном

1

1

значении k , 1 ≤ k ≤ n, (оператор проектирования).

2)

Α: Rn → Rn , x = (x1,..., xn )

Ax = (x12 ,..., xn

2 ).

3)

Α: Rn → R ,

x = (x ,..., x

n

)

Ax = a x +... + a

n

x

n

при фиксированных

1

1

1

значениях a1,..., an .

4)

Α:V3 → R ,

Ax = (a, x) для фиксированного вектора a .

5)

Α:V3 →V3 ,

Ax = (a, x)x для фиксированного вектора a .

6)

Α: L → R ,

где

L –

пространство сходящихся

последовательностей,

A({an})= lim an .

n→∞

7)

Α: L → R ,

где

L

– пространство арифметических

прогрессий,

A({an})= d , где d – разность данной прогрессии.

8)

Α: L → L ,

где

L

–

пространство

всех

последовательностей,

A({an})={bn}, где bn = an+m

при фиксированном значении m (оператор

смещения).

9)

Α: L → L ,

где

L

–

пространство

всех

последовательностей,

A({an})={bn}, где bn = an+1 −an

(разностный оператор).

10)

Α: C[a,b]→ R ,

A(f (x))= f (a).

Α: C[a,b]→ R ,

b

11)

A(f (x))= ∫ f (x)dx .

Α: C1(R)→C(R),

a

C1(R)

12)

где

–

пространство

непрерывно

дифференцируемых

функций

на

R ,

′

(оператор

A(f (x))= f (x)

дифференцирования).

13)

Α: C(R)→C(R), A(f (x))= f (x −a)

при фиксированном значении a

n ×n .

оператора Α, действующего в

4. Составить матрицу

линейного

пространстве L в естественном базисе.

1)

L =V3 ,

Α – оператор поворота вокруг оси Y на угол ϕ .

2)

L =V3 ,

Ax =[a, x], где a = (α, β,γ ) – фиксированный вектор.

3)

L = Rn ,

x = (x ,..., x

n

)

Ax = (x

2

, x ,..., x

n

, x ) (оператор циклической

1

3

1

6)

L = M

,

a

b

– фиксированная матрица.

2×2

A(B)= BC , где C =

c

d

параллельного переноса вдоль оси X на c .

6.

Доказать, что ненулевое число λ является собственным значением

невырожденной квадратной матрицы

A тогда и только тогда, когда λ−1

является

собственным

значением матрицы

A−1 .

Как при этом связаны

собственные векторы матриц A и A−1 ?

7. Пусть x – собственный вектор оператора

A , λ – соответствующее

собственное значение. Доказать, что x

будет также собственным вектором

для оператора Ak . Каково будет соответствующее собственное значение?

8.

Пусть p(λ)

–

характеристический

многочлен матрицы

A2×2 .

Доказать, что p(A)= O , где O – нулевая матрица.

a

b

p(λ)= λ2 −(a + d )λ + ad −bc .

Далее

Указание. Пусть A =

. Тогда

c

d

нужно непосредственно найти p(A).

что вектор x также является

собственным вектором матрицы A−1 ,

отвечающим собственному значению λ−1 .

11. Привести матрицу линейного

оператора к диагональному виду.

2

1

−3

3

−2

−3

Указать матрицу перехода. A =

.

1

1

−2