система векторов линейно независима.

4. Проверить, является ли подмножество L1 линейного пространства L

подпространством.

1)

L =V3 , L1 ={a V3 : a llπ}, где π - заданная плоскость.

2)

L =V3 , L1 ={a V3 :

a

=1}.

3)

L = Rn ,

L ={a = (a

,...,a

n

) R :a +... + a

n

= 0 }

1

1

n

1

4)

L = R∞ – линейное пространство последовательностей,

L ={{a

n

} R∞ :{a

n

}

сходится}.

1

={{an

5)

L = R∞ , L1

} R∞ : lim an = 0 .

{{a

n→∞

убывает}.

6)

L = R∞ ,

L =

n

} R∞ :{a

n

}

монотонно

не

1

прогрессия}.

7)

L = R∞ ,

L =

{{a

n

} R∞ :{a

n

}

арифметическая

L = R∞ ,

1

{{a

} R∞ :{a

}

прогрессия}.

8)

L =

n

n

геометричская

1

9)

L = Mn×n ,

L1 ={A M n×n : A верхнетреугольная матрица}.

10)

L = M n×n ,

L1 ={A M n×n : A симметрическая матрица}.

11)

L = M n×n ,

L1 ={A M n×n : A кососимметрическая матрица}.

12)

L = Mn×n ,

L1 ={A M n×n : detA = 0}.

13)

L = M n×n ,

L1 ={A M n×n : a11 +... + ann = 0}.

14)

L = Pn , L1 = Pm , где m < n .

15)

L =C[a,b],

L1 ={f (x) C[a,b]: f (a)= 0}.

16)

L =C[a,b],

L1 ={f (x) C[a,b]: f (a)= f (b)}.

17)

L =C[a,b],

L1 ={f (x) C[a,b]: f (x)≥ 0 x [a,b]}.

18)

L =C[a,b],

L1 ={f (x) C[a,b]: f (x)монотоннонеубывает}.

1)

( x, y + z) = ( x, y) + ( x, z) x, y, z E ;

2)

( x,λ y) = λ( x, y) x, y E , λ R ;

– угол между векторами x и y , а

x

и

y

– их длины.

Rn скалярное

2. В арифметическом линейном пространстве

произведение можно задать по формуле: (x, y)= x1 y1 +... + xn yn .

3.

В линейном пространстве

C [a,b]

всех функций, непрерывных на

отрезке

[a,b],

скалярное

произведение

можно задать

по

формуле:

(x(t), y(t))= b∫x(t) y(t) dt .

a

Замечание. В одном и том

же линейном пространстве

скалярное

произведение можно задать различными способами.

Задача 1.

Доказать,

что

в

R2 скалярное произведение можно

определить следующим образом: (x, y)= 2x1 y1 + 5x2 y2 .

x = (x1, x2 ) и

Решение. Проверим выполнение аксиом 1) – 4) для любых

y = ( y , y

2

) из R2 .

1

1) (x, y)= 2x1 y1 + 5x2 y2 = 2 y1x1 + 5y2 x2 = ( y, x) .

4) ( x, x) =2x x +

5x

2

x

2

=

2x2

+

5x2

≥ 0 ;

1

1

1

2

( x, x) =2x2

+ 5x2

= 0

x = 0, x

2

= 0 x =θ.

1

2

1

Задача 2.

Доказать,

что в любом конечномерном линейном

пространстве можно определить скалярное произведение.

Решение. Рассмотрим

какой-нибудь

базис

этого

пространства

e = (e1,e2 ,...,en ).

Тогда

для

любых

векторов

данного

пространства

x = x1e1 +... + xnen

и

y = y1e1 +... + ynen

зададим

скалярное

произведение

следующим образом:

(x, y)

= x1 y1 +... + xn yn . Справедливость всех четырех

Задача 3.

Доказать,

что

в

пространстве

Pn

формула

m

(f , g)= ∑ f (xi )g(xi ), где

x1,..., xm R

– фиксированные различные числа,

i=1

задает скалярное произведение тогда и только тогда, когда m > n .

Решение. Легко проверить справедливость аксиом 1), 2)

и 3) скалярного

m

(xi )≥ 0 ,

произведения.

Аксиома

4)

имеет

вид:

(f , f )= ∑ f 2

причем

i=1

m

)= 0 f (x)≡ 0 x (− ∞,+∞).

(f , f )= ∑ f 2 (xi

i=1

Pn существует ненулевой многочлен

а) Если m ≤ n ,

то в пространстве

f (x)= (x − x1 ) ... (x − xm )

степени m ,

для которого имеет место равенство

m

2 (xi )= 0 следует,

б) Если

m > n , то из соотношения (f , f )= ∑ f

что

f (x)≡ 0 ,

i=1

так как ненулевой многочлен степени, не превышающей n ,

не

скалярное произведение.

i=1

y произвольного евклидова

Теорема. Для любых двух элементов x и

пространства справедливо неравенство Коши - Буняковского:

(x, y)2 ≤(x, x) (y, y).

(1)

Запишем неравенство Коши-Буняковского в

различных

конкретных

евклидовых пространствах.

1. В евклидовых пространствах V2 и V3 неравенство Коши -

Буняковского имеет вид (x, y)2 ≤

x

2

y

2 .

Rn :

2.

В

евклидовом

арифметическом

пространстве

(x1 y1 +... + xn yn )2 ≤ (x12 +... + xn2 ) (y12 +... + yn2 ).

3. В евклидовом пространстве C [a,b] всех функций, непрерывных на

отрезке [a,b] :

b

2

b

b

∫x(t) y(t) dt

≤ ∫x2

(t) dt ∫y2 (t) dt .

a

a

a

2)

λx

=

λ

x

x N , λ R ;

3)

x + y

≤

x

+

y

x, y N

(неравенство треугольника или

неравенство Минковского).

Теорема.

Всякое

евклидово

пространство

является

нормированным,

если

в

нем норму любого элемента x

определить

x

= (x, x).

Воспользовавшись формулой

x

=

(x, x),

определим нормы в

некоторых

конкретных евклидовых пространствах.

В пространствах V2 ,V3 :

x

=

x

;

в пространстве Rn : x =

x2

+... + x2

; в пространстве C [a,b]:

1

n

евклидовых

пространствах.

В пространствах

V2 ,V3 :

x + y

≤

x

+

y

(сторона треугольника не превосходит суммы двух других его сторон);

в

пространстве

Rn :

(x

+ y

)2 +... + (x

n

+ y

n

)2

≤

x2 +... + x2

+

y2

+... + y2

;

1

1

1

n

1

n

в пространстве C [a,b]:

b

(x(t) + y(t))2 dt ≤

b

b

∫

∫x2

(t) dt +

∫y2 (t) dt .

a

a

a

элемент

x ,

т.е. умножить этот элемент на число

1

. Норма полученного

x

элемента x0

= x

1

равна 1,

т.к.

x0

=

x

1

=

1

x

=1.

x

x

x

Задача 1.

Вычислить

скалярное

произведение

и нормы

векторов

x = (1,2,3,4)

и y = (5,6,7,8) в R4 .

Решение.

(x, y)=1 5 + 2 6 + 3 7 + 4 8 = 70 ,

x =

12 + 22 + 32 + 42 = 30 ,

y = 52 + 62 + 72 +82 = 174 .

Задача 2.

Вычислить

скалярное

произведение

и нормы

функций

f (x) = x +1,

g(x) = x2 + x в C[0,1].

Решение.

(f (x), g(x))=

1∫(x +1)(x2 + x)dx =

1∫(x3 + 2x2 + x)dx = 1712 ,

0

0

1

1

(x2 + x)2 dx = 3031 .

f (x) = ∫(x +1)2 dx = 73 ,

g(x)

= ∫

0

0

Задача 3. Нормировать вектор x = (1,2,3,4)

в R4 .

Решение.

x =

12 + 22 + 32 + 42

=

30 ,

x0 = x

1

1

,

2

,

3

,

4

x

=

30

30

30

30

.

Замечание. Неравенство Коши-Буняковского можно записать в

следующем виде:

(x, y)

≤

x

y

.

(2)

Заметим далее, что в любом евклидовом пространстве можно ввести

понятие угла между двумя произвольными элементами

x

и

y

этого

пространства. В полной аналогии с векторной алгеброй, назовем углом

ϕ

между элементами x и y

произвольного евклидова пространства

угол,

косинус

которого

определяется

соотношением

cosϕ =

(x, y)

=

(x, y)

,

ϕ [0,π]. Данное нами определение угла

x

y

(x, x) (y, y)

(x, y)

корректно, т.к. в силу неравенства Коши-Буняковского (2)

дробь

x

y

по модулю не превосходит единицы.

3

1

в C[0,1].

Задача.

Найти угол между f (x) = x 4

и g(x)

= x

4

1

1

3

1

1

1

Решение.

(f (x), g(x))= ∫x

4 x

4

dx =

,

f (x)

=

∫(x

4 )2 dx

=

2 ,

0

2

0

3

1

3

2

52 , cosϕ =

(x, y)

15

15

g(x)

=

∫

x

4

dx =

=

,

ϕ = arccos

.

x

y

4

4

0

Определение.

Два

ненулевых

элемента

евклидова

пространства

x, y E называются

ортогональными, если

их

скалярное

произведение

равно нулю.

x + y

двух

По аналогии с векторной алгеброй, назовем

сумму

ортогональных

элементов

x и y

гипотенузой

прямоугольного

треугольника, построенного на катетах

x и y .

Теорема Пифагора. В произвольном евклидовом пространстве квадрат

гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Действительно,

учитывая (x, y)= 0 ,

x

=

(x, x)

и