Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.
10.Доказать, что любую ортогональную систему ненулевых векторов евклидова пространства можно дополнить до ортогонального базиса этого пространства.
11.В евклидовом пространстве C[−1,1] провести ортогонализацию системы элементов {1,x,x2 , x3}.
12.Пусть (e1 ,...,en ) – ортонормированный базис евклидова пространства, {f1 ,..., fk } – некоторая ортонормированная система векторов этого
пространства, αij |
– угол |
между векторами |
ei и |
f j . Доказать, что |
n k |
|
|
|
|
∑∑cos2 αij = k . |
|
|
|
|
i=1 j =1 |
|
|
|
|
Указание. Для любого |
j =1,..., k вектор |
f j |
имеет координаты |
|
(cosα1 j ,...,cosαnj ) |
|
|
|
n |
в данном базисе, следовательно, |
∑cos2 αij =1. |
|||
i=1
Глава III. Линейные операторы
3.1. Определение и примеры линейных операторов. Матрица линейного оператора
Пусть задано отображение A :L1 → L2 из линейного пространства L1 в линейное пространство L2 , сопоставляющее каждому элементу x L1 один
элемент Ax L2 , называемый образом элемента x . |
|
|||
Определение. Отображение A :L1 → L2 |
из линейного пространства L1 |
|||
в линейное пространство L2 |
называется линейным оператором, если для |
|||
любых элементов x, y L1 |
и для |
любого |
действительного числа λ R |
|
выполняются соотношения: |
|
|
|
|
1) A( x + y) = Ax + Ay |
(образ |
суммы |
элементов |
равен сумме их |
образов); |
|
|
|
|
2) A(λ x) = λ Ax (образ произведения элемента |
на число равен |
|||
произведению образа элемента на число).
Из условий 1) – 2) вытекают следующие утверждения.
1. Линейный оператор сохраняет линейные комбинации, т.е. переводит линейную комбинацию элементов в линейную комбинацию их образов с
теми же коэффициентами: |
|
k |
|
k |
xi L1 , λi R , |
A |
∑ |
λi xi = ∑λi Axi |
|||
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
i =1,2....,k .
28
Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.
2. Линейный оператор переводит нулевой элемент пространства L1 в нулевой элемент пространства L2 : A(θL1 ) =θL2 , где θL1 ,θL2 нулевые элементы пространств L1 и L2 соответственно.
3. Линейный оператор сохраняет линейную зависимость (независимость), т.е. переводит линейно зависимую (независимую) систему элементов в линейно зависимую (независимую).
|
Пусть L1 и L2 |
|
– |
линейные |
пространства размерности |
n |
и |
m |
|||||||||
соответственно. Пусть |
A – линейный оператор, действующий из L1 в L2 . |
||||||||||||||||
Зафиксируем в пространстве L1 базис e = (e1 , e2 ,..., en ), а в пространстве L2 |
|||||||||||||||||
базис f = (f1 , |
f2 ,..., fm ). Рассмотрим действие линейного оператора |
A |
на |
||||||||||||||
векторы базиса e = (e1 , |
e2 ,..., en ). Разложим векторы Ae1 , Ae2 ,..., Aen L2 |
по |
|||||||||||||||
базису f = (f1 , f2 ,..., fm ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ae1 =α11 f1 +α21 f2 +... +αm1 fm |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ae2 =α12 |
f1 +α22 f2 +... +αm2 fm , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aen =α1n |
f1 +α2n f2 +... +αmn fm . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Коэффициенты |
αij |
|
|
этих |
разложений |
образуют |
матрицу |
||||||||||
α11 |
α12 |
L α1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
α21 |
α22 |
L α2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
которая |
называется |
матрицей |
линейного |
||||||||||||
A = |
L |
L |
L |
L |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
αm1 |
αm2 L αmn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
оператора A в паре |
базисов e |
и f . Отметим, |
что |
i -й столбец матрицы |
|||||||||||||
линейного |
оператора |
A , |
i =1,2,..., n , |
в паре |
базисов |
e и |
f |
является |
|||||||||
столбцом координат вектора Aei |
в базисе f . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
В дальнейшем будем рассматривать линейные операторы, |
||||||||||||||||
действующие |
из |
линейного пространства |
L |
в |
то |
же самое |
линейное |
||||||||||
пространство |
L . Пусть размерность L равна n . Фиксируем в L базис |
||||||||||||||||
e1 ,e2 ,...,en L . |
Рассмотрим действие линейного оператора |
A на векторы |
|||||||||||||||
базиса e = (e1 , |
e2 ,..., en ). |
Разложим векторы |
Ae1 , |
Ae2 ,..., Aen L по базису |
|||||||||||||
e =(e1 , e2 ,..., en ):
Ae1 =α11 e1 +α21 e2 +... +αn1 en , Ae2 =α12 e1 +α22 e2 +... +αn2 en ,
L
Aen =α1n e1 +α2n e2 +... +αnn en .
29
Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.
Коэффициенты |
αij |
|
этих |
разложений |
образуют |
матрицу |
||||
|
α11 |
α12 |
L |
α1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
α21 |
α22 |
|
α2n |
|
|
|
|
|
A = |
|
L |
|
которая |
называется матрицей линейного |
|||||
|
L |
L |
L |
L |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
αn2 L |
|
|
|
|
|
|||
|
αn1 |
αnn |
|
|
|
|
||||
оператора A в базисе e . |
Отметим, что i -й столбец матрицы линейного |
|||||||||
оператора |
A , |
i =1,2,..., n , в базисе e |
является столбцом координат вектора |
|||||||
Aei |
|
в базисе e . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пример. Рассмотрим линейный оператор A :V2 →V2 , осуществляющий |
||||||||
поворот |
вектора |
на угол |
ϕ против часовой |
стрелки. Найдем |
матрицу |
|||||
линейного оператора |
A в базисе i , j . |
||
Решение. |
Рассмотрим |
действие |
|
линейного |
оператора |
A |
на векторы |
базиса i , j . При повороте против часовой стрелки векторы i , j перейдут в векторы i′, j′ соответственно. Разложим векторы i′, j′ по базису i , j : i′= (cosϕ,sinϕ) , j′= (−sinϕ,cosϕ) (см. рис. 1).
|
|
|
|
|
Y |
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
j |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
cosϕ |
|
|
|
i′ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
j′ |
|
φ |
|
|
φ |
|
|
i |
X |
||
−sinϕ |
|
0 |
|
|
|
cos |
|
ϕ |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
Матрица |
линейного оператора |
A в |
|
|
базисе |
i , j |
имеет |
вид |
Рис. 1 |
cosϕ |
−sinϕ |
|
|
|
A = |
cosϕ |
. |
|
|
sinϕ |
|
|
|
|
Теорема 1. Пусть A :L → L линейный оператор, действующий из L в |
||||
L . Пусть e = (e1 , |
e2 ,..., en ) базис в L . Тогда вектор Ax в базисе e имеет |
|||
координаты A X , где A – матрица линейного оператора A в базисе e , X – матрица-столбец координат вектора x в базисе e .
Теорема 2. Пусть e = (e1 , e2 ,..., en ) базис в L , |
A – квадратная матрица |
|
размера n ×n . Тогда существует |
единственный |
линейный оператор |
A :L → L, матрицей которого в базисе |
e является матрица A. |
|
Задача 1. Убедившись в линейности оператора A :V3 →V3 , найти его матрицу в базисе i, j,k . Ax = (x,e) e , где e – заданный единичный вектор.
Решение. Линейность данного оператора вытекает из свойств скалярного произведения:
1) |
A( x + y) = ( x + y,e) e = ( x,e) e + ( y,e) e =Ax + Ay x, y V3 ; |
2) |
A(λx) = (λx,e) e = λ ( x,e) e = λ Ax x V3 , λ R . |
Для построения матрицы линейного оператора A найдем образы базисных векторов. Зададим координаты единичного вектора e с помощью направляющих косинусов e = (cosα,cos β,cosγ) , где α, β,γ – углы между e и
базисными векторами i, j,k соответственно. Тогда
30
Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.
Ai = (i,e) e = cosα e = (cos2 α,cosα cos β,cosα cosγ) ; Aj = ( j,e) e = cos β e = (cos β cosα,cos2 β,cos β cosγ) ; Ak = (k,e) e = cosγ e = (cosγ cosα,cosγ cos β,cos2 γ) .
Из полученных векторов составим матрицу линейного оператора:
|
|
cos2 α |
cos β cosα |
cosγ cosα |
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
A = |
|
|
cos |
β |
cosγ cos β |
|
|
cosα cos β |
|
. |
|||||
|
cosα cosγ |
cos β cosγ |
cos2 γ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2. Убедившись в линейности оператора A :R3 → R3 , найти его матрицу в естественном базисе. Ax = (x2 + x3 ,2x1 + x3 , 3x1 − x2 + x3 ) . Решение. Докажем линейность данного оператора:
1)A( x + y) =
=((x2 + y2 ) + (x3 + y3 ), 2(x1 + y1) + (x3 + y3 ), 3(x1 + y1) − (x2 + y2 ) + (x3 + y3 )) =
=Ax + Ay x, y R3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||
2) A(λx) = (λx |
2 |
+ λx , 2λx + λx |
3 |
, 3λx −λx |
2 |
+ λx ) = λ Ax x R3 |
, λ R . |
||
|
3 |
1 |
1 |
|
3 |
|
|||
Естественный базис в пространстве |
R3 имеет вид: e1 = (1,0,0) , |
e2 = (0,1,0) , |
|||||||
e3 = (0,0,1) . Для построения матрицы линейного оператора A найдем образы
базисных векторов: Ae1 = (0,2,3) , Ae2 = (1,0,−1) , |
Ae3 = (1,1,1) . Из полученных |
||||
|
|
0 |
1 |
1 |
|
векторов составим матрицу линейного оператора |
A = |
2 |
0 |
1 . |
|
|
3 |
− |
1 |
1 |
|
Задача 3. Найти матрицу линейного оператора |
|
Α, |
действующего в |
||
линейной оболочке данных функций, в базисе, состоящем из этих функций. L(ax , xax , x2ax )– линейная оболочка функций ax , xax , x2ax , Α – оператор
дифференцирования.
Решение. Применим оператор дифференцирования к трем базисным векторам: Α(ax )= (ax )′ = ax ln a , Α(xax )= (xax )′ = ax + xax ln a ,
Α(x2ax )= (x2ax )′ |
= 2xax + x2ax ln a . Образы базисных векторов в исходном |
||||||||||
базисе |
имеют |
координаты: |
Α(ax )= (ln a,0,0), |
Α(xax )= (1, ln a,0), |
|||||||
Α(x2ax )= (0,2, ln a). Составим |
матрицу |
линейного |
оператора |
Α, |
записав |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln a |
1 |
0 |
|
|
координаты образов базисных векторов по столбцам: A = |
0 |
ln a |
2 |
. |
|||||||
Замечание. Опираясь на теорему 1, |
|
|
|
0 |
0 |
ln a |
|||||
можно найти производную от любой |
|||||||||||
функции |
вида |
f (x)= ax (αx2 + βx +γ ), |
не выполняя |
непосредственно |
|||||||
дифференцирование. |
Для |
этого |
|
умножим |
матрицу |
оператора |
|||||
31