Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.

1

1

0

II способ.

Te→ f

1

0

1

– матрица перехода от e

к f ,

=

0

1

1

1

1

−1

2

0

– матрица перехода от e

к

g . Чтобы найти матрицу

Te→g = 1

0

0

1

перехода от

f к

g ,

воспользуемся формулой

Te→g =Te→ f

Tf →g . Из этой

формулы

получим:

T

f →g

=T −1

T

. Найдем

матрицы

T −1

и T

f →g

.

e→ f

e→g

e→ f

1

1

−

1

2

−1

2

2

T

=

1

−

1

1

.

e→ f

2

2

2

−

1

1

1

2

2

2

1

1

−

1

1 1 −1

1

3

−

1

2

2

2

2

=T −1

2

1

2

T

f →g

T

=

1

−

1

1

1 2 0

=

1

−

−

1

.

2

2

2

e→ f

e→g

2

2

2

−

1

1

1

1

1

1

2

2

1 0 0

2

2

2

2

Чтобы найти координаты вектора

x

в базисе

f ,

воспользуемся формулой

1

3

−

1

3

−

15

2

2

2

1

2

4

(3).

X

f

=T

f →g

X

g

=

1

−

−

1

− 2

=

1

. Таким образом, вектор

12

1

2

1

2

3

54

2

2

2

4

x в базисе

f

имеет координаты

x =

(− 15

, 1

,

5

).

4

4

4

1.5. Линейное подпространство

Определение.

Непустое подмножество L1

линейного пространства L

называется

линейным

подпространством пространства L , если

выполнены следующие два требования.

1.

Сумма

x + y

любых

двух

элементов x и y подмножества L1

принадлежит подмножеству L1 , т.е. x, y L1 x + y L1 .

2.

Произведение λx

любого элемента x подмножества L1

на любое

действительное число

λ

принадлежит

подмножеству

L1 ,

т.е.

x L1 и

λ R λx L1 .

L1 ,

Утверждение.

Подмножество

удовлетворяющее перечисленным

вида

{x1e1 + x2e2 +... +xk ek

xi R, i =1,2,...,k}.

При

этом

говорят, что

линейная оболочка натянута на векторы

e1,e2 ,...,ek .

Договоримся

обозначать линейную оболочку

элементов

e1,e2 ,...,ek

символом

L(e1,e2 ,...,ek ).

Справедливы следующие утверждения.

Утверждение 1. Если e1

,e2 ,...,ek –

элементы линейного пространства

L , то линейная оболочка

L(e1,e2 ,...,ek )

является

линейным

подпространством пространства L .

e1,e2 ,...,ek является

Утверждение 2. Линейная оболочка элементов

наименьшим подпространством, содержащим эти элементы.

Утверждение 3. Любое линейное пространство является линейной

оболочкой любого из своих базисов.

L(e1,e2 ,...,ek ) равна

Теорема. Размерность

линейной

оболочки

e1,e2 ,...,ek . Если элементы e1,e2 ,...,ek линейно независимы, то размерность

линейной оболочки L(e1,e2 ,...,ek )

равна k , а сами элементы e1,e2 ,...,ek

образуют базис линейной оболочки.

Задача 1.

Проверить,

является

ли

подмножество

L ={{a

n

} R∞ : a

n

≥ 0 n N }

линейного

пространства

1

Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.

Задача 2.

Проверить,

является

ли

подмножество

L1

b

линейного

пространства

L =C[a,b]

= f (x) C[a,b]: ∫

f (x)dx = 0

a

Решение. Данное подмножество является подпространством. Действительно,

рассмотрим произвольные

два элемента f (x) и g(x)

подмножества

L1 .

Сумма

f (x)+ g(x)

принадлежит

подмножеству

L1 ,

так

как

b

b

b

λf (x)

∫(f (x)+ g(x))dx = ∫ f (x)dx + ∫g(x)dx = 0 .

Произведение

λ R

a

a

a

принадлежит L1 , так как

b∫(λf (x))dx = λb∫ f (x)dx = 0 .

a

a

4)

L = P , f (x)= 5x2 −14x +1, f

2

(x)= 3x2 −4x +5 , f

3

(x)= 2x2 + x +7 .

2

1

(x)= x3 +3x2

5)

L = P ,

f

+ 2x +5 ,

f

2

(x)= 2x3 +5x2 + x +3 ,

3

1

f3 (x)= 3x3 +8x2 + 4x +1.

6)

L = C(R)

–

линейное

пространство

функций,

непрерывных

на

R ,

f (x)= ex ,

f

2

(x)= sh x ,

f

3

(x)= ch x .

1

7)

L = C(R),

f

(x)

= cos x ,

f

2

(x)= cos3 x , f

3

(x)= cos3x .

1

(x)= ln(

+1).

8)

L =C(0,+∞), f

(x)= ln x , f

2

(x)

= ln(x +1), f

3

1

1

x

9)

L = C(R), f

(x)

= ex , f

2

(x)= e2x , f

3

(x)= e3x .

1

f3 (x)= cos3x

10)

L = C(R),

f1(x)= cos x ,

f2 (x)= cos 2x ,

2. В линейном пространстве L найти координаты вектора a в данном

базисе e =

(e1 ,e2 ,e3 ).

1)

L = R3 , a = (3,−2,7), e1 = (2,1,1), e2 = (1,2,5), e3 = (3,4,1).

= e (x)

= (x + 2),

2)

L = P , a = a(x)= 4x2

− 7x + 3,

e

1

= e

(x)

= (x + 2)2 ,

e

2

2

1

2

e3 = e3 (x) =1.

3. Доказать, что любой ненулевой вектор x конечномерного линейного

пространства может быть включен в какой-нибудь базис.

L :

Указание. Рассмотрим произвольный базис

линейного

пространства

e = (e1 , e2 ,...,en ).

Пусть

x = x1e1 +... + xnen ,

причем

xi ≠ 0 .

Тогда в базис