Глава IV. Линейные операторы в евклидовых пространствах

Пусть E – конечномерное евклидово пространство.

Определение.

Оператор

A* :E → E

называется

сопряженным

к

линейному

оператору A :E → E ,

если

для

любых

векторов

x, y E

выполняется равенство (Ax, y)= (x, A* y).

Утверждение. Оператор A* ,

сопряженный к линейному оператору A ,

является линейным.

линейному оператору A :E → E

Теорема.

Любому

соответствует

единственный

сопряженный

оператор

A* :E → E ,

причем

матрицей

сопряженного

оператора

A*

в любом ортонормированном базисе e

является транспонированная матрица исходного оператора

A

в

том

же

ортонормированном базисе e :

A* = AT .

Задача 1. Для данного оператора

Α в евклидовом пространстве

V3

найти сопряженный оператор Α . Ax =[a, x], где a – фиксированный вектор.

Решение. (Ax, y)= ([a, x], y)= a, x, y

= x, y,a

= (x,[y,a])=

(x, A y)

x, y V .

3

(Через

a, x, y

обозначено

смешанное произведение векторов).

Следовательно,

A x =[x,a]= −[a, x]= −Ax , т.е.

A* = −A .

Задача 2. Для данного оператора

Α в

евклидовом пространстве

L

найти сопряженный оператор

Α .

L ={f (x) C1[a,b]: f (a)= f (b)= 0 }, где

b

b

b

b

частям. ∫ f ′(x)g(x)dx = ∫g(x)df (x)= f (x)g(x)

ba − ∫ f (x)dg(x)= −∫ f (x)g′(x)dx .

a

a

a

a

Таким образом, поскольку (Af , g)= (f , A g)= (f ,−Ag), то A* = −A .

Определение.

Линейный

оператор

A :E → E

называется

самосопряженным,

если A* = A ,

т.е. x , y E

выполняется

равенство

(Ax, y)= (x, Ay).

Пример. Самосопряженными

являются нулевой оператор O

и

единичный оператор E . Действительно, x , y E выполняется

векторов самосопряженного оператора.

Теорема 1.

Все

корни

характеристического

уравнения

самосопряженного оператора действительны

(т.е. все собственные значения

самосопряженного оператора действительные).

Следствие. Самосопряженный оператор, действующий в n -мерном

евклидовом пространстве, имеет равно n собственный значений,

если каждое

из них считать столько раз, какова его кратность.

Теорема 2.

Собственные

векторы

самосопряженного

оператора,

отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Теорема 3.

Если

все

собственные

значения

λ1,λ2 ,...,λn

самосопряженного

оператора A ,

действующего в

n -мерном

евклидовом

пространстве E , попарно различны, то в E существует ортонормированный

базис, состоящий из собственных векторов оператора A , в котором

матрица

λ

0

...

0

1

λ2

...

0

A линейного оператора A имеет диагональный вид:

0

A =

...

...

.

... ...

0

0

...

λn

значения оператора

A , повторяющиеся

столько раз,

какова их

кратность.

4.2. Ортогональные операторы и ортогональные матрицы

Пусть E – конечномерное евклидово пространство.

Определение.

Линейный оператор

A :E → E

называется

евклидова пространства.

Действительно,

Ax

2 = (Ax, Ax)= (x, x)=

x

2

x E .

Замечание 2. Ортогональный оператор сохраняет

угол

между

элементами евклидова пространства.

Действительно,

cos (Ax, Ay)=

(Ax

,

Ay)

=

(x, y)

= cos (x, y).

Здесь

Ax

x

y

Ay

(x, y)

(Ax, Ay) – угол между элементами

Ax

и

Ay ,

– угол между

2.

Матрица

cosϕ

−sinϕ

ортогональная.

Напомним, что

U =

sinϕ

cosϕ

матрица

U является матрицей

линейного оператора

поворота вектора,

Замечание 1.

Пусть

U

– ортогональная матрица,

тогда

U TU =UU T = E .

Замечание 2.

Определитель

ортогональной

матрицы

может

иметь

одно из двух возможных значений:

detU =1 или detU = −1.

Теорема 2.

Матрица

ортогонального

оператора

в

любом

Теорема 3. Матрица

U является матрицей перехода от одного

ортонормированного базиса

конечномерного евклидова пространства к

Матрицы Ae

и Af

линейного

оператора

A :E → E

в различных

базисах e и f связаны соотношением

Af

=Te−→1 f Ae

T e→ f ,

(1)

где Te→ f

матрица перехода от базиса e к базису

f (гл. III, п.

3.3). Если

базисы e

и f являются ортонормированными,

то

матрица

перехода от

базиса e

к базису f

является ортогональной,

т.е.

T −1

=T T

, поэтому

e→ f

e→ f

соотношение (1) можно записать следующим образом

(2)

Af

=TeT→ f Ae T e→ f .

симметрической матрицы

A ( A = AT ) существует ортогональная матрица

U (U −1 =U T ) такая, что

U T AU = Λ, где Λ – диагональная матрица,

A.

11

2

−8

2

2

10

к диагональному виду

Задача 1. Привести матрицу A =

−8

10

5

б) Найдем

собственные

значения матрицы A. Для этого

решим

характеристическое уравнение

A − λE

11 − λ

2

−8

= −(λ −18)(λ −9)(λ + 9) = 0 . λ1 =18 ,

λ2 =9 ,

=

2

2 − λ

10

−8

10

5 − λ

равен 2, поэтому ФСР системы состоит из n − r =3 − 2 =1

решения. Решив

−α

−1

−1

α2

12

α , где

12

–

СЛАУ, получим общее решение системы X =

=α

α

1

1

ФСР системы. Нормируя этот вектор, получим

f

1

= (−

2

, 1

,

2

) .

3

3

3

2x

+ 2x

2

−8x = 0

1

3

Для λ2 =9 СЛАУ имеет вид

2x1 − 7x2 +10x3 = 0 . Ранг матрицы системы

−8x

+10x

2

− 4x

3

= 0

1

равен 2, поэтому ФСР системы состоит из n − r =3 − 2 =1

решения. Решив

2α

2

2

СЛАУ, получим общее решение системы

X =

2α

2

α , где

2

–

=α

α

1

1

ФСР системы. Нормируя этот вектор, получим f

2

= (

2

,

2

, 1 ) .

3

3

3

20x1 + 2x2 −8x3 = 0

Для λ3 = −9 СЛАУ имеет вид

2x1

+11x2

+10x3 = 0 . Ранг матрицы

−8x

+10x

2

+14x

=

0

1

3

α

1

Решив СЛАУ, получим общее решение системы

2

=

2

X =

−α

α

−1 α , где

α

1

1

2

f

= (1

2

2

−1 – ФСР системы. Нормируя этот вектор, получим

3

, −

,

) .

3

1

3

3

найденные векторы

f1 = (−

2

, 13 ,

2

) ,

f2 = (

2

,

2

, 13) ,

f3 = (13 , −

2

,

2

)

образуют

3

3

3

3

3

3

ортонормированный

базис из собственных

векторов. Матрица

линейного

18

0

0

оператора в этом базисе имеет вид Af

0

9

0

=

.

0

0

−9

−

2

2

1

3

3

3

2

f имеет вид U =

1

2

−

. Поскольку U является матрицей перехода

3

3

3

2

1

2

3

3

3

2

2

− 2

2

5

− 4

к диагональному виду

Задача 2. Привести матрицу A =

− 2

− 4

5

б) Найдем собственные значения матрицы

A.

Для

этого

решим

характеристическое уравнение

A − λE

2 − λ

2

− 2

= −(λ −1)2 (λ −10) = 0 .

=

2

5 − λ

− 4

λ = λ

2

=1, λ

3

=10 –

1

− 2

− 4

5 − λ

−8x

+ 2x

2

− 2x = 0

Для λ3 =10 СЛАУ имеет вид

1

3

2x1 −5x2 − 4x3 = 0

. Ранг матрицы системы

− 2x

− 4x

2

−5x = 0

1

3

равен 2, поэтому ФСР системы состоит из n − r =3 − 2 =1

решения. Решив

− α

− 1

− 1

2

2

2

СЛАУ, получим общее решение системы X =

−α

=α

−1

α , где

−1

–

α

1

1

ФСР системы. Нормируя этот вектор, получим

f

3

= (−

1

,−

2

,

2

) .

3

3

3

x + 2x

2

− 2x

3

= 0

1

Для λ1 = λ2 =1 СЛАУ имеет вид

2x1 + 4x2 − 4x3 = 0

. Ранг матрицы

− 2x −

4x

2

+ 4x

3

=

0

1

Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.

Вычеркнув из системы второе и третье уравнения,

придем

к уравнению

x1 = −2x2 + 2x3 .

Общее

решение

СЛАУ

имеет

вид

− 2α + 2β

− 2

2

− 2

2

α

1

0

1

0

– ФСР системы.

X =

=α

+ β

α, β , где

и

β

0

1

0

1

Найденные

собственные

векторы a1 = (−2,1,0)

и

a2 = (2,0,1) ,

соответствующие собственному значению

λ1 = λ2 =1,

линейно независимы,

но ортогональными не являются.

соответствующую

собственному

значению

λ1 = λ2 =1,

методом

ортогонализации Грама–Шмидта:

1) g

= a

1

= (−2,1,0) ,

f

1

= g

/

g

= (−

2

,

1

, 0) ;

1

1

1

5

5

, 1), f2 = g2

= (

).

2) (a2

, f1 )= −

4

, g2

= a2 −

(a2 , f1 ) f1 =

(

2

,

4

/

g2

2

,

4

,

5

3

5

5

5

3

5

3

5

Найденные векторы

f1 = (−

2

,

1

, 0) ,

f2

= (

2

,

4

,

5

),

f3 = (−

1 ,

−

2

,

2

)

5

5

5

3

5

3

3

3

3

3

образуют

ортонормированный

базис

из

собственных

векторов.

Матрица

1

0

0

линейного оператора в этом базисе имеет вид Af

=

0

1

0

.

0

0

10

f

в

д) Заметим, что мы получили координаты векторов нового базиса

старом базисе e . Таким образом,

матрица перехода от базиса e к базису

f

−

2

2

−

1

3

5

5

3

имеет вид

U =

1

4

−

2

. Поскольку U является матрицей перехода

5

3

5

3

2

0

5

3

3

от ортонормированного базиса к ортонормированному базису, то

матрица

U является ортогональной, и справедливо равенство

Af

=U −1 AU =U T AU .

Задачи для самостоятельного решения.

1. Для данного

оператора

Α в евклидовом

пространстве

L

найти

сопряженный оператор Α .

1)

L =V2 , Α – оператор поворота на угол ϕ .

2)

L =C[a,b],

Α(f (x))= f (x)p(x), где

p(x) – фиксированная функция из

L .

L ={f (x) C2 [a;b]: f (a)= f (b)= 0}, где C 2 [a,b]

3)

– пространство дважды

непрерывно дифференцируемых функций на отрезке

[a,b], Α –

оператор