Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.

Задача 3.

Доказать,

что

система

функций

f1(x)= sin x ,

f2 (x) =sin 2x ,…, fn (x)= sin nx

линейно независима для любого натурального

числа n .

n =1 система,

Решение. Применим метод математической индукции. При

состоящая из одной функции

f1(x)= sin x , линейно независима, так как эта

функция ненулевая. Далее предположим, что система функций линейно

независима

при

n = k ,

т.е.

система

функций

f1(x)= sin x ,

f2 (x) =sin 2x ,…, fk (x)=sin kx

линейно

независима. Докажем

линейную

независимость системы функций при n = k +1, т.е. линейную независимость

системы функций f1(x)=sin x,..., fk+1(x) =sin(k +1)x . Рассмотрим тождество:

α1 sin x +α2 sin 2x +... +αk sin kx +αk+1 sin(k +1)x ≡ 0 x R .

(1)

умножим тождество (1) на

(k +1)2 и сложим его с тождеством (2):

((k +1)2 −1)α1 sin x +... + ((k +1)2 − k 2 )αk sin kx ≡ 0

x R .

Поскольку

по

нашему предположению

система функций

f1(x)= sin x ,…, fk (x)=sin kx

линейно независима, из последнего тождества

получим

α1 =... =αk

= 0 .

Подставляя α1 =... =αk = 0

в (1), получим αk+1 = 0 . Следовательно, только

Решение.

Рассмотрим

линейную

комбинацию

векторов

x1 ,..., xk :

α1 x1 + ... +αk xk =θ.

Представим вектор

y в виде линейной комбинации

векторов x1 ,..., xk :

y = β1x1 + ...+ βk xk .

Сложив

два равенства, получим:

y = (α1 + β1 )x1 + ...+(αk + βk )xk . Поскольку вектор

y

может быть разложен

по векторам x1 ,..., xk

единственным образом, β1 =α1 + β1 ,…, βk =αk + βk и,

следовательно, α1 = ... =αk = 0 , т. е.

только

тривиальная

линейная

комбинация

векторов

x1 ,..., xk равна

нулевому

вектору. Следовательно,

система векторов x1 ,..., xk линейно независима.

x L

существуют

такие

действительные

числа x1, x2 ,..., xn , что

x = x1e1 + x2e2 +... + xnen .

Последнее равенство называется разложением

элемента x по

базису

e1 , e2 ,...,en ,

а числа

x1, x2 ,..., xn

называются

координатами элемента

x

в

базисе

e1 , e2 ,...,en .

Элемент

x

в данном

базисе

можно

записать

с

помощью

координат

следующим

образом:

x = (x1, x2 ,..., xn ).

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1.

Система

элементов e1 , e2 ,...,en

линейного

пространства

все координаты этого элемента умножаются на λ , т.е.

если в некотором

базисе

x = (x1,..., xn ) ,

y = ( y1,..., yn ) ,

то

в

этом

базисе

x + y = (x1 + y1,..., xn + yn ) , λ x = (λx1,...,λxn ) .

e1 , e2 ,...,en

Чтобы доказать, что система элементов

образует базис в

2.

В

арифметическом линейном

пространстве

Rn

векторы

e1 = (1,0,...,0,0) , e2 = (0,1,...,0,0) ,…,

en = (0,0,...,0,1)

образуют базис, т.к. они

линейно независимы и любой вектор x = (x

,..., x

n

)

пространства Rn

можно

1

представить в виде x = (x1,..., xn ) = x1e1 + x2e2 +... + xnen ,

т.е. любой вектор

разложим

по

векторам e1 , e2 ,...,en . Замечание.

Базис

e1 = (1,0,...,0,0) ,

e2 = (0,1,...,0,0) ,…, en = (0,0,...,0,1)

называется

естественным

базисом

пространства Rn .

m ×n

3. В линейном пространстве M m×n

всех

матриц

размера

матричные единицы E11, E12 ,..., E1n , E21,..., E2n ,..., Emn

образуют базис, т.к.

a

...

a

11

1n

они линейно независимы, а любую матрицу A = ...

... ...

пространства

...

am1

amn

степени, не превышающей n , многочлены

p

0

(x) =1,

p (x) = x , p

2

(x) = x2 ,

…, pn (x) = xn образуют

1

базис, т.к.

они

линейно

независимы

и

любой

многочлен пространства

P

имеет вид f (x) = λ 1 + λ

2

x +... + λ

n+1

xn =

n

1

= λ1 p0 (x) +.... +λn+1 pn (x) ,

т.е. разложим по многочленам p0 (x),..., pn (x) .

Замечание. Базис

p0 (x),..., pn (x)

называется естественным

базисом

пространства Pn .

Определение.

Линейное пространство L называется n-мерным, если в

нем существует n

линейно независимых элементов, а любые n +1

Теорема 2. Если линейное пространство L имеет базис,

состоящий из

n элементов, то размерность L равна n .

dim Rn = n ,

Опираясь

на теорему

2,

можно утверждать, что

dim Pn = n +1, dim M m×n = m n .

система векторов a1 = (1,1,0) ,

a2 = (1,−1,0) ,

Задача 1.

Доказать, что

a3 = (−1,2,−1) является базисом в R3 .

I способ (формальный). a) Докажем, что система векторов a1

,a2 ,a3 линейно

независима. Рассмотрим равенство λ1 a1+λ2 a2 + λ3 a3 =θ.

Запишем его в

λ + λ

2

− λ = 0

1

3

координатной форме

λ1

− λ2 + 2λ3 = 0 . Полученная однородная СЛАУ

−

λ = 0

3

система векторов a1 ,a2 ,a3

линейно независима.

б) Докажем,

что любой вектор x = (x , x

2

, x ) R3 может быть разложен по

векторам a1 ,a2 ,a3 , т.е. существуют

1

3

такие вещественные числа λ1,λ2 ,λ3 ,

что x = λ1a1 + λ2a2 + λ3a3 .

Запишем

последнее равенство в координатной

λ +

λ

2

− λ

= x

1

3

1

форме

λ1 − λ2 + 2λ3 = x2

. Полученная неоднородная СЛАУ с матрицей

− λ

= x

3

3

II способ. а)

Докажем, что система векторов a1

,a2 ,a3

линейно независима.

Из

столбцов

координат

векторов

a1 ,a2 ,a3

составим

матрицу

1

1

−1

1

−1

2

Поскольку

det A ≠ 0 ,

столбцы

матрицы

A

линейно

A =

.

0

0

−1

независимы,

поэтому и система векторов a1 ,a2 ,a3 линейно независима.

б) Поскольку количество линейно независимых векторов

совпадает с

размерностью пространства R3 , эти векторы образуют базис в пространстве

R3 .

Задача 2.

Доказать,

что

система

многочленов

f (t) =t3 + t2

+ t +1, f

2

(t) =t2 + t +1,

f

3

(t) =t +1,

f

4

(t) =1 в пространстве

P

1

3

линейно независима.

I способ (формальный). Рассмотрим линейную комбинацию

многочленов

λ1 f1(t) + λ2 f2 (t) + λ3 f3 (t) + λ4 f4 (t) ≡ 0

t (−∞,+∞) .

Подставив

многочлены в тождество и приведя подобные члены, получим

λ (t3 + t2 + t +1) + λ

2

(t2 + t +1) + λ (t +1) + λ

4

1 ≡ 0

t (−∞,+∞)

1

3

t3 λ + t 2 (λ + λ

2

) + t (λ + λ

2

+ λ ) +

(λ + λ

2

+ λ + λ

4

) ≡ 0

t (−∞,+∞) .

1

1

1

3

1

3

Поскольку система многочленов

1, t , t 2 ,

t3 линейно

независима, только