3. Найти все симметрические ортогональные матрицы размера 2 ×2 .

Указание. Общий вид симметрической матрицы размера 2 ×2 :

a

b

A =

.

b

c

диагональному

виду ортогональным преобразованием. Указать матрицу

0

2

−3

2

3

−6

перехода. A =

.

−3

−6

8

n

коэффициентами f (x1,x2 ,..., xn ) = ∑aij xi x j , где aij = a ji

i, j =1,2,...,n .

i, j=1

a

...

a

11

1n

Определение.

Симметрическая

матрица

A = ...

...

...

,

...

an1

ann

составленная

из

коэффициентов квадратичной

формы,

называется

матрицей квадратичной формы.

Утверждение. Квадратичную

форму

можно

записать

в матричном

x

1

виде:

f (x ,x

2

,..., x

n

) =X T A X ,

где

X =

x2

–

столбец

переменных,

A

–

1

...

матрица квадратичной формы.

xn

Задача 1.

Записать

квадратичную

форму

в

матричном

виде:

f (x ,x

2

, x ) = x2 − 2x2

+ 4x2

+ 6x x

2

−8x

x .

1

3

1

2

3

1

2

3

x2

Решение. Учитывая,

что

a

ii

–

это

коэффициенты

при

,

i =1,2,3 ,

i

aij + a ji

= 2aij

= 2a ji

–

коэффициенты

при

xi x j ,

1 ≤i < j ≤3,

получим

1

3

0

матрицу

квадратичной

формы

3

− 2

− 4

A =

.

0

− 4

4

1

3

0

x

f (x ,x

2

, x ) =X T

A X =

(x x

2

x

)

3 − 2

− 4

x1

.

1

3

1

3

2

0

− 4

4

x

3

3

1

2

Задача 2.

Зная

матрицу

квадратичной

формы

1

4

A =

−1 ,

2

−1

5

записать квадратичную форму в виде многочлена.

Решение. f (x ,x

2

, x ) =3x2

+ 4x2 + 5x2

+ 2x x

2

+ 4x x

− 2x

2

x .

1

3

1

2

3

1

1

3

3

Замечание. Пусть L – n -мерное линейное пространство.

Квадратичную форму можно трактовать как отображение

f : L → R ,

сопоставляющее каждому элементу

x L

с координатами (x1, x2 ,..., xn )

в

n

n

некотором базисе

e

действительное число

∑aij xi x j :

f ( x) =

∑aij xi x j .

i, j=1

i, j=1

квадратичной формы в базисе e и обозначается Ae .

Утверждение. При переходе от

базиса e

к базису

f матрица

квадратичной формы меняется по закону

A

f

=T T

A T

,

e→ f

e

e→ f

где Te→ f

– матрица перехода от базиса

e к базису

f .

Действительно, пусть X −столбец

координат вектора x L в базисе e ,

Y −

столбец

координат вектора x L в базисе

f .

Координаты вектора

x в

базисах

e и f связаны между собой соотношением X =Te→ f

Y . Запишем

В

результате

получим

квадратичную

форму

с

матрицей

A

f

=T T

A T

.

e→ f

e

e→ f

Замечание. Изменение базиса в линейном пространстве L приводит к

линейной замене переменных

X =Te→ f

Y в квадратичной форме.

Задача 1.

Найти

квадратичную

форму,

полученную

из

f ( x) = f (x , x

2

) = x2

− 4x x

2

+ 5x2

невырожденным

преобразованием

1

1

1

2

переменных:

x = 2 y

−3y

2 .

1

1

I

способ.

x2 = y1 + y2

Сделав замену

переменных

в

квадратичной

форме,

получим:

f ( x) = f (x , x

2

) =

(2 y −3y

2

)2 − 4(2 y −3y

2

)(y + y

2

)+ 5(y + y

2

)2

=

1

1

1

1

1

= y2

+ 2 y y

2

+ 26 y2 .

1

1

2

− 2

II

способ.

A

1

–

матрица

квадратичной

формы

в

некотором

=

e

− 2

5

форме:

x

2

−3

y

. Матрицу

2

−3

можем трактовать, как

1

=

1

U =

1

x2

1

1

y2

1

матрицу перехода от старого базиса к новому.

Тогда A

=U T A

1

1

f

e

U =

.

26

1

многочлена

f ( x) = f ( y , y

2

) = y2

+ 2 y y

2

+ 26 y

2 .

Задача 2.

1

1

1

2

Написать

квадратичную

форму

f ( x) = f (x , x

2

) = x2

+ 4x x

2

+ 2x2 в новом базисе f

1

= (1, 3) ,

f

2

= (−1, 2) .

1

1

1

2

Решение.

A

1

2

=

– матрица квадратичной формы в исходном базисе e .

e

2

2

T

1

−1

– матрица перехода от базиса

e к базису

f . При переходе

=

e→ f

3

2

e

f

от базиса

к базису

матрица квадратичной формы меняется по закону

A

=T T

A

T

1 3

1 2 1 −1

31 9

Квадратичная

f

=

=

.

e→ f

e

e→ f

−1 2

3 2

2 2

9 1

форма в новом базисе имеет вид

f ( x) = f ( y , y

2

) =31y2 +18y y

2

+y2 .

1

1

1

2

n

Определение.

Квадратичная

форма

f (x1,x2 ,..., xn ) = ∑aii xi2 ,

i=1

f (x1, x2 ,..., xn ) = a11

n

2

+ f1(x2 ,..., xn ) ,

где

f1(x2 ,...,xn ) –

x1

+ ∑bj x j

j=2

x1 .

Выполнив линейную

квадратичная форма, не содержащая переменную

n

f (x1, x2 ,..., xn ) = a11 y12 + f1(x2 ,..., xn ) .

замену

y1 = x1 + ∑b j x j ,

получим

С

j=2

квадратичной формой

f1(x2 ,...,xn ) поступим аналогично. Проиллюстрируем

этот метод на конкретном примере.

Задача.

Привести

квадратичную

форму

f ( x) = f (x

,x

2

, x ) = x2

+ x2 −3x x

2

+ 4x x

3

+ 2x

x

к

каноническому виду

1

3

1

3

1

1

2

3

методом Лагранжа.

a11 =1 ≠0,

содержащие x1 ,

Решение.

Поскольку

соберем

слагаемые,

и

дополним полученное выражение до полного квадрата:

x2 −3x x

2

+ 4x x = x2 + 2x (−

3

x

2

+ 2x ) + (−

3

x

2

+ 2x )2

− (−

3

x

2

+ 2x )2 =

2

1

1

1

3

1

1

3

2

3

2

3

= (x −

3

x

2

+ 2x

3

)2 − (

9 x2

− 6x

2

x + 4x

2 ) = y2

−

9 x2 + 6x

2

x − 4x2 ,

2

1

4

2

3

3

1

4

2

3

3

где y = x

−

3

x

2

+ 2x .

1

1

2

3

Итак,

f ( x) = y2

−

9

x

2

+ 6x

x

− 4x2

+ x2 + 2x

x

= y2

−

9

x2 −3x

2

+8x

x .

4

2

2

2

3

2

1

3

3

3

1

4

2

3

3

Поскольку коэффициент при x22

не равен нулю,

вынесем этот коэффициент

за скобку, в скобке соберем все слагаемые, содержащие

x2 ,

и дополним

полученное выражение до полного квадрата:

−

9

x2

+8x

2

x = −9

(x2

− 32 x

2

x ) = −

9 (x2 − 2x

2

16 x + (16 x )2 − (16 x )2 ) =

4

2

3

4

2

9

3

4

2

9

3

9

3

9

3

= −9

(x

2

− 16 x )2

+

64 x

2

=−

9

y2 +

64 x2

,

где y

2

= x

2

−

16 x .

4

9

3

9

3

4

2

9

3

9

3

Итак,

f ( x) = y2

−

9 y2

+ 64 x2

−3x

2 = y

2

− 9

y2

+

37 x2

= y2 −

9

y2

+

37

y2 ,

где

1

4

2

9

3

3

1

4

2

9

3

1

4

2

9

3

y

= x

−

3

x

2

+ 2x

,

y

2

= x

2

− 16 x ,

y

3

= x .

Найдем

матрицу

перехода

от

1

1

2

3

9

3

3

x1,

x2 ,

x3

старого базиса к новому. Для этого выразим переменные

через

3

y2 +

2

y3

1

3

2

2

3

2

3

x1 = y1 +

y1, y2

, y3 :

x2 = y2 + 169

y3

. Итак,

X =UY , где U =

0

1

169

– матрица

x = y

3

0

0

1

3

e к новому базису

f .

перехода от старого базиса

Учитывая,

что матрица

по столбцам, получим

координаты

векторов

нового

базиса

f1 = (1,0,0) ,

f2 = (

3

,1,0), f3 = (

2

,

169 ,1).

2

3

f ( x) = y2

y2

y2 .

Окончательно

получим:

− 9

+

37

Указанный

1

4

2

9

3

Сделаем линейную замену переменных:

x1

′

′

,

′

′

,

′

,

= x1

+ x2

x2 = x1

− x2

xi = xi

i =3,4,...,n , тогда

′

′

′

′

′ 2

′

2

). После

2a12 x1x2 = 2a12 (x1

+ x2 )(x1

− x2 )= 2a12

((x1 ) − (x2 )

при (x1′)2

отличен от нуля.

II. Метод ортогонального преобразования.

e

Пусть E –

n -мерное евклидово пространство. При переходе от базиса

к базису

f

матрица

квадратичной формы меняется по закону

A

f

=T T

A T

,

где T

– матрица перехода от базиса e к базису f

e→ f

e

e→ f

e→ f

состоящему из собственных векторов матрицы Ae

(гл. IV, п. 4.3).

λ

0 ...

0

1

λ2 ...

0

Квадратичная

форма с

матрицей

Af = Λ =

0

имеет

...

... ... ...