Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.
Введение
Вработе приведены все основные определения и формулировки теорем по следующим разделам линейной алгебры: линейное пространство, евклидово пространство, линейные операторы, линейные операторы в евклидовых пространствах, квадратичные формы, приведение уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду.
Вработе разобрано большое количество задач как стандартных, так и повышенной сложности. Разобран типовой расчет по линейной алгебре. В конце каждой главы приведены задачи для самостоятельного решения.
Пособие полезно всем студентам, изучающим линейную алгебру.
Глава I. Линейное пространство
1.1. Определение и примеры линейных пространств
Определение. Множество L элементов любой природы называется
вещественным линейным пространством, если выполнены следующие три условия.
1. Задано сложение элементов из L, т.е. задан закон, по которому любым двум элементам x, y L ставится в соответствие элемент z L ,
называемый суммой элементов x и y и обозначаемый символом z = x + y . 2. Задано умножение элемента из L на действительное число, т.е. задан
закон, по которому любому элементу |
x L и любому действительному |
числу λ ставится в соответствие элемент |
z L , называемый произведением |
элемента x на действительное число λ и обозначаемый символом z =λ x . 3. Указанные два закона подчинены следующим восьми аксиомам:
1) |
x + y = y + x x, y L (аксиома коммутативности); |
|
||
2) |
( x + y) + z = x + ( y + z) |
x, y, z L (аксиома ассоциативности); |
||
3) |
существует нулевой элемент θ L , такой что x L выполняется |
|||
x + θ = x ; |
x L существует противоположный элемент |
|||
4) |
для каждого элемента |
|||
x′ L , такой что x + x′=θ; |
|
|
|
|
5) |
1 x = x x L ; |
|
|
|
6) |
λ (μ x)=(λμ) x |
λ, μ R , x L ; |
|
|
7) |
(λ + μ) x = λ x + μ x |
λ, μ R , |
x L |
(аксиома |
дистрибутивности умножения на число относительно сложения чисел); |
||||
8) |
λ (x + y)= λ x + λ y |
λ R , |
x, y L |
(аксиома |
дистрибутивности умножения на число относительно сложения элементов). Из аксиом 1) – 8) можно получить ряд простейших свойств линейных
пространств.
2
Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.
1)В произвольном линейном пространстве существует единственный нулевой элемент θ.
2)Для каждого элемента x L существует единственный
противоположный элемент x′ L .
3) |
0 x =θ |
x L . |
4) |
−1 x = x′ x L . |
|
5) |
λ θ =θ |
λ R . |
Элементы линейного пространства будем называть векторами.
Приведем примеры конкретных линейных пространств.
1.Множество R всех действительных чисел. Операции сложения и умножения на число являются обычными операциями сложения и умножения действительных чисел.
2.Множества V1 ,V2 ,V3 всех свободных векторов на прямой, на
плоскости, в пространстве соответственно. Операции сложения векторов и умножения вектора на число определены в курсе аналитической геометрии.
3. Множество Rn упорядоченных наборов n действительных чисел, называемых арифметическими векторами (или множество матриц-строк
длины n , |
элементами которых являются |
действительные числа): |
|||||||
Rn ={x = (x , x |
2 |
,..., x |
n |
) |
|
x R, i =1,2,...,n}. Для любых элементов x = (x ,..., x |
n |
) |
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
i |
1 |
|
|||
и y = ( y1,..., yn ) |
из Rn |
|
определим операцию сложения и умножения на число |
||||||
следующим образом: |
|
x + y = (x1 + y1,..., xn + yn ) , |
λ x = (λx1,...,λxn ) . Нулевой |
||||||
и обратный элементы имеют вид: θ = (0,...,0) , x′ = (−x1,...,−xn ) . Замечание. Иногда из соображения удобства будем записывать арифметические векторы
ввиде столбцов.
4.Множество M m×n всех вещественных матриц размера m×n.
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число определены в курсе аналитической геометрии.
5. Множество C [a,b] всех функций, непрерывных на отрезке [a,b].
Операции сложения и умножения на число являются обычными операциями сложения функций и умножения функции на число.
6. Множество Pn всех алгебраических многочленов переменной x и степени, не превышающей n :
P ={f (x) = a |
0 |
+ a x +... + a |
n |
xn |
|
a |
i |
R, i = 0,1,...,n}. Операции сложения и |
|
||||||||
n |
1 |
|
|
|
|
умножения на число являются обычными операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число. Число 0 R по определению считается многочленом с нулевыми коэффициентами и называется нулевым многочленом.
Отметим, что множество всех алгебраических многочленов степени n не является линейным пространством. Сумма таких многочленов может оказаться степени ниже n . В качестве примера рассмотрим множество всех алгебраических многочленов второй степени. При сложении
3
Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.
f (x) = x2 +3x +1 с g(x) = −x2 + 2x , получим f (x) + g(x) = 5x +1
многочлен первой степени, не лежащий в рассматриваемом множестве.
7. Рассмотрим множество R+ всех действительных положительных чисел. Если суммой двух чисел x, y R+ считать обычную сумму двух действительных чисел x + y , а произведением числа λ на x – обычное произведение двух действительных чисел λx , то множество R+ не является линейным пространством, т.к. операция умножения элемента x R+ на
отрицательное число выводит из этого множества. Введем операции сложения элементов и умножения на действительное число на множестве R+ по-другому. Суммой двух чисел назовем их произведение: x y = xy ,
умножением числа x на действительное число λ назовем возведение x в степень λ : λ o x = xλ . Обе операции не выводят из множества R+ . Легко проверить выполнение восьми аксиом:
1)x y = xy = yx = y x ;
2)(x y) z = (xy)z = x( yz) = x ( y z) ;
3) |
нулевым элементом является |
число 1, |
действительно, |
x θ = x 1 = x 1 = x ; |
числу x R+ |
|
|
4) |
противоположным произвольному |
является число |
|
x′ = 1x , действительно, x x′= x 1x =1 =θ ;
5)1ox = x1 = x ;
6)λ o(μ o x)= (xμ )λ = xμ λ = xλ μ = (λ μ)o x ;
7)(λ + μ) o x = xλ+μ = xλ xμ = (λ o x) (μ o x);
8)λ o(x y)= (xy)λ = xλ yλ = (λ o x) (λ o y).
Таким образом, множество R+ с введенными операциями сложения
элементов и умножения на действительное число является линейным пространством.
1.2. Линейная зависимость
Пусть L – вещественное линейное пространство.
Определение. Линейной комбинацией элементов e1 ,e2 ,...,en L
называется выражение вида λ1e1 + λ2e2 +... + λnen , где λ1 , λ2 ,..., λn R – действительные коэффициенты линейной комбинации. Линейная комбинация элементов называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю и нетривиальной, если среди коэффициентов линейной комбинации хотя бы один отличен от нуля.
Определение. Система элементов e1 ,e2 ,...,en L называется линейно
зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих элементов, равная нулевому элементу, т.е. если существуют числа
4
Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.
λ1 , λ2 ,..., λn R , |
одновременно |
|
|
не |
|
равные |
|
нулю |
|
|
и такие, |
|
что |
||||||||||||||
λ1e1 + λ2e2 +... + λnen =θ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 , e2 L |
|
|
|
|
|||||||||
Замечание 1. Пусть система |
из |
двух |
элементов |
линейно |
|||||||||||||||||||||||
зависима и пусть λ |
1 |
≠ 0. Тогда e |
1 |
=− λ2 |
e |
2 |
, т.е. элемент e |
1 |
можно получить |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
из элемента e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
умножением на константу. |
|
|
|
|
|
e1 ,e2 ,...,en L |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Замечание 2. |
|
|
Пусть |
система |
элементов |
линейно |
|||||||||||||||||||||
зависима |
и пусть |
λ |
≠ 0. |
Тогда |
e |
1 |
=− |
λ2 |
e |
2 |
−λ3 |
e |
3 |
−... − |
λn |
e |
n |
, т.е. |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
λ |
|
|
λ |
|
|
||||||
элемент e1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
является |
линейной комбинацией остальных элементов. |
|
Таким |
||||||||||||||||||||||||
образом, элемент e1 |
|
может быть получен из остальных элементов, |
т.е. он не |
||||||||||||||||||||||||
является “уникальным”. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Справедлива следующая теорема. |
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 ,e2 ,...,en L |
|
|
|
|||||||||||||||
Теорема. Для того, чтобы система элементов |
|
|
была |
||||||||||||||||||||||||
линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы один из |
элементов |
||||||||||||||||||||||||||
этой системы являлся линейной комбинацией остальных элементов. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Определение. Система элементов e1 ,e2 ,...,en L |
называется линейно |
||||||||||||||||||||||||||
независимой, если только тривиальная линейная комбинация этих элементов
равна нулевому элементу, т.е. λ1e1 + λ2e2 +... + λnen =θ
λ1 = λ2 =... = λn = 0 .
Замечание 1. |
Если система |
элементов |
e1 ,e2 ,...,en L |
линейно |
независима, то все элементы являются |
“уникальными”, т.к. никакой элемент |
|||
нельзя получить из остальных. |
|
|
|
|
Замечание 2. |
Опуская слово |
“система”, |
часто говорят: |
элементы |
(векторы) e1 ,e2 ,...,en L линейно зависимы или линейно независимы.
Примеры.
1. В линейных пространствах V2 иV3 всех свободных векторов на
плоскости и в пространстве два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны; три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны; любые четыре вектора линейно зависимы. Эти утверждения были доказаны в курсе аналитической геометрии.
2. |
В |
арифметическом линейном |
пространстве |
|
Rn |
векторы |
||||||
e1 = (1,0,...,0,0) , |
e2 = (0,1,...,0,0) ,…, en = (0,0,...,0,1) |
линейно |
|
независимы. |
||||||||
Действительно, |
линейная |
комбинация |
векторов |
e , e |
2 |
,..., e |
n |
Rn является |
||||
вектором |
λ1e1 + λ2e2 +... + λnen = (λ1,λ2 ,...,λn ) , |
|
1 |
|
|
|
||||||
который равен |
нулевому |
|||||||||||
вектору θ = (0,0,...,0) тогда и только тогда, когда λ1 = λ2 =... = λn = 0 . |
||||||||||||
3. В линейном пространстве M m×n всех |
матриц |
размера m ×n |
||||||||||
матричные |
единицы |
Eij , |
i =1,..., m , |
j =1,..., n , |
линейно независимы. |
|||||||
Матричной единицей |
Eij |
размера m ×n называется матрица, |
у которой |
|||||||||
5
Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.
элемент, стоящий в i -й строке и |
j -м столбце, |
равен 1, а все остальные |
|||||||||||||||
элементы |
равны |
нулю. Матричные |
единицы |
Eij , |
i =1,..., m , |
j =1,..., n , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m n |
линейно независимы, т.к. |
линейная комбинация этих матриц |
∑∑λij Eij |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
... |
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
11 |
|
1n |
|
|
|
|
|
представляет |
собой матрицу |
... ... |
... |
, которая равна нулевой |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λm1 ... |
λmn |
|
|
j =1,..., n . |
||||
матрице тогда и только тогда, когда |
|
λij |
|
= 0 |
для всех i =1,..., m и |
||||||||||||
4. В линейном пространстве Pn всех алгебраических многочленов |
|||||||||||||||||
степени, |
|
не |
превышающей |
n , |
|
|
|
многочлены |
p0 (x) =1, |
p1 (x) = x , |
|||||||
p2 (x) = x2 ,…, |
pn (x) = xn |
линейно |
независимы. Чтобы |
это |
доказать, |
||||||||||||
рассмотрим |
линейную |
комбинацию |
|
|
этих |
многочленов |
|||||||||||
λ 1 + λ |
2 |
x +... + λ |
n+1 |
xn . |
Если |
не |
все коэффициенты λ , |
i =1, 2,..., n +1, |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
||
равны нулю, то линейная комбинация является многочленом степени, не превышающей n . Этот многочлен может иметь не более, чем n корней и, следовательно, не может тождественно равняться нулю x (−∞,+∞). Таким
образом, |
λ 1 + λ |
2 |
x +... |
+ λ |
n+1 |
xn ≡ 0 |
x (−∞,+∞) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
λ1 = λ2 =... = λn+1 = 0 , т.е. p0 (x) , |
p1(x) ,…, pn (x) линейно независимы. |
|
|
|||||||||
Задача 1. В линейном пространстве C(R) всех функций, непрерывных |
||||||||||||
на R , исследовать систему функций |
f (x)= cos2 x , |
f |
2 |
(x)= cos 2x , f |
3 |
(x)=1 |
||||||
на линейную зависимость. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
Из тригонометрического тождества cos 2x = 2 cos2 x −1 следует, что |
|||||
функция |
f2 (x) является линейной комбинацией двух других функций f1(x) и |
|||||
f3 (x) : f2 (x)= 2 f1(x)− f3 (x). |
Следовательно, |
система |
функций |
линейно |
||
зависима. |
|
|
|
C(R) исследовать |
|
|
Задача 2. В |
линейном |
пространстве |
систему |
|||
функций |
f1(x) |
=sin x , f2 (x)= sin 2x , f3 (x)= sin 3x |
на |
линейную |
||
зависимость. |
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Рассмотрим тождество: α sin x + β sin 2x +γ sin 3x ≡ 0 |
x R . |
||||
Равенство имеет место при всех значениях x , следовательно, оно верно и при
x =π 4 , |
x =π 3, |
x =π 2 . Подставив в равенство x =π 4 , x =π 3, x =π 2 , |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
α + β |
+ |
2 |
γ = 0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||
получим СЛАУ |
|
|
3 |
α + |
3 |
β = 0 |
. Эта система имеет единственное |
|||||
|
2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α −γ = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение |
α = β =γ = 0 , |
|
следовательно, |
только тривиальная |
линейная |
|||||||
комбинация функций |
f1(x), |
f2 (x), |
f3 (x) |
тождественно равна |
нулю и, |
|||||||
следовательно, система функций линейно независима.
6