Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.

дифференцирования

на

столбец

координат

функции

в базисе

(ax , xax ,

x2ax )

ln a 1

0 γ

γ ln a + β

0

ln a

2

β

= β ln a + 2α

и

получим

0

α ln a

0 ln a

α

′

x

2

(α ln ax +(β ln a + 2α)x +γ ln a + β).

f (x)= a

Α,

Задача 4. Найти матрицу линейного оператора

действующего в

L(eαx cos βx,eαx sin βx) –

линейная оболочка функций

eαx cos βx,eαx sin βx ,

Α – оператор параллельного переноса вдоль оси OX на c .

OX к

Решение. Применим оператор параллельного переноса

вдоль оси

базисным векторам.

Α(eαx cos βx)= eα(x−c)cos β(x −c)= e−αceαx (cos βx cos βc +sin βxsin βc),

Α(eαx sin βx)= eα(x−c)sin β(x −c)= e−αceαx (sin βx cos βc −cos βxsin βc).

Образы

базисных

векторов

в

исходном

базисе

имеют

координаты:

Составим матрицу оператора

Α, записав координаты образов базисных

векторов по столбцам:

e−αc

cos βc

−e−αc sin βc

A =

−αc

−αc

.

sin βc

e

cos βc

e

3.2. Действия над линейными операторами

Пусть L1 и L2

– произвольные линейные пространства.

Определение.

Операторы A :L1 → L2 и

B :L1 → L2

называются

равными, если Ax = Bx x L1 .

Определение. Суммой операторов A :L1 → L2

и

B :L1 → L2

называется

оператор ( A + B):L1 → L2 , действующий по правилу

( A + B) x = Ax + Bx

x L1 .

число λ называется оператор (λA):L1 → L2 ,

действующий

по

правилу

(λA) x =λ Ax x L1 .

A :L2 → L3

B :L1 → L2

Определение.

Произведением операторов

и

называется

оператор

( AB) :L1 → L3 ,

действующий

по

правилу

( AB) x = A(Bx) x L1 .

A :L → L .

оператора A

Определение.

Пусть

Определим степень

следующим образом:

A0 = E , A1 = A,

A2 = A A ,

A3 = A A2 ,…,

An = A An−1 ,

где E :L → L

единичный

оператор,

действующий по правилу

Ex = x

x L .

Утверждение

1.

Если A и B –

линейные

операторы, то

λA, A + B, AB также линейные операторы (при условии,

что A + B, AB

существуют).

В конечномерных

линейных

пространствах

Утверждение

2.

оператора A :R2 → R2 и

B :R2 → R2 . Найти матрицу и явный вид линейного

оператора C = AB . Ax = (−x1 + x2 , x1 + 2x2 ) ,

Bx = (3x1 + x2 ,2x1 − x2 ) .

I способ.

Оператор

B

переводит

любой

вектор x R2 в

вектор

y = Bx = (3x1 + x2 ,2x1 − x2 ) .

Оператор

C = AB

действует по

правилу:

x R2

Cx = ( AB) x = A(Bx) = Ay =

= (−y1 + y2 , y1 + 2 y2 ) = (− (3x1 + x2 )+ (2x1 − x2 ),(3x1 + x2 )+ 2(2x1 − x2 ))=

= (− x − 2x

2

,7x

− x

2

), т.е. Cx = (− x − 2x

2

,7x − x

2

) x R2 . Для построения

1

1

1

1

и e2 = (0,1)

пространства R2 :

Ce1 = (−1,7) , Ce2 = (−2,−1) . Из полученных

векторов

составим матрицу

линейного оператора C в базисе e :

−1

−

2

C =

1

.

7

−

II способ. Для построения матрицы линейного оператора A найдем образы

базисных векторов e1 = (1,0) , e2 = (0,1) пространства R2 :

Ae1 = (−1,1) ,

A в базисе e :

−1

1

. Для построения матрицы линейного оператора

A =

1

2

3

1

−1

− 2

является матрицей линейного

B =

. Тогда C = A B =

2

7

−1

−1

оператора C в базисе e .

По определению матрицы линейного оператора в

векторов,

т.е.

Ce1 = (−1,7) ,

Ce2 = (−2,−1) .

)

Таким

образом,

Cx =C(x e

1

+ x

e

2

) = x Ce

1

+ x

Ce

2

= (− x − 2x

2

,7x − x

2

x R2 .

1

2

1

2

1

1

−1

− 2

x

− x − 2x

2

, т.е. Cx = (− x − 2x

,7x − x

)

x R2 .

C X =

7

−1

1

=

1

− x

x

2

7x

2

1

2

1

2

1

Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.

Задача 2. В пространстве

R3 заданы два линейных оператора

A :R3 → R3 и B :R3 → R3 . Найти матрицу и явный вид линейного оператора

C = AB − BA .

Ax = (7x1 + 4x3 ,4x2 −9x3 ,3x1 + x2 ) ,

7

0

4

матрицу

линейного

оператора

A

в

базисе

e :

A =

0

4

−9 .

Для

3

1

0

построения матрицы линейного оператора B найдем образы базисных

векторов:

Be1 = (0,3,1) ,

Be2 = (1,0,1) ,

Be3 = (−6,7,−1) .

Из

полученных

векторов составим

матрицу

линейного оператора B

в

базисе e :

0

1

− 6

4

11 − 46

−18 − 2 −9

B = 3

0

7 .

A B = 3

−9 37 ,

B A =

42

7

12 ,

1

1

−1

3

3 −11

4

3 −5

22

13

−37

C = A B − B A =

−39

−16

25 .

Матрица

C

является

матрицей

−1

0

− 6

базисных

векторов,

т.е.

Ce1 = (22,−39,−1) ,

Ce2 = (13,−16,0) ,

Ce3 = (−37,25,−6) .

Таким

образом,

Cx =C(x1e1 + x2e2 + x3e3 ) =

Пусть A :L → L – линейный оператор, действующий из L в L . Пусть

e = (e1 e2 ... en ) и f = (f1 f2 ... fn )

– два базиса

n -мерного пространства

L ;

Ae

и Af – матрицы линейного оператора A в базисе e и

f соответственно.

Теорема. Матрицы Ae

и Af

линейного

оператора A :L → L

в

различных базисах e и f связаны соотношением

Af =Te−→1 f Ae

T e→ f ,

(1)

где

Te→ f матрица перехода от базиса e к базису

f .

Следствие. Справедливо соотношение A =T

A

f

T −1

.

e

e→ f

e→ f

Задача.

В пространстве

L2

оператор

A

в

базисе

f = ( f1, f2 ) :

f

=e

+2e

,

f

= 2e

+ 3e

имеет матрицу A

3

5

. Оператор B в базисе

1

1

2

2

1

2

f

=

4

3

4

6

g = (g

, g

) :

g

=3e

+e

,

g

= 4e

+ 2e

имеет матрицу

B

. Найти

1

2

1

1

2

2

1

2

g

=

6

9

базиса в старом, записанных по столбцам, матрицы перехода от e к f и от

e к g имеют вид: T

1

2

,

T

3

4

. Для нахождения матрицы

=

=

e→ f

2

3

e→g

1

2

оператора

A

в

базисе

g

воспользуемся

формулой

(1):

A g = T f−→1

g A f

T

f → g .

Для нахождения матрицы перехода от f

к g

воспользуемся

формулой

Te→g =Te→ f

Tf →g .

Таким

образом,

T

f →g

=T −1

T

.

Итак,

e→ f

e→g

T −1

−

3 2

,

T

=

−3 2

3 4 − 7

−8

T −1

−3 − 4

=

f →g

=

,

=

,

e→ f

f →g

5

7

2

−1

2

−1

1 2

5

6

2

2

−1

40

38

44

44

Af T f →g=

71

,

59

Ag + Bg

–

Ag =Tf →g

−

−34

Ag +Bg =

− 25

.

2

− 2

Пусть

A – линейный оператор, действующий из

линейного

пространства L в линейное пространство

L .

Определение. Ненулевой вектор

x L

называется

собственным

вектором

линейного оператора A :L → L,

если существует такое

Утверждение 3. Собственный вектор линейного оператора

A

может

отвечать только одному собственному значению λ .

Теорема. Собственные векторы, отвечающие различным собственным

значениям,

линейно независимы.

Следствие. Линейный оператор, действующий в n -мерном

пространстве, не может иметь более

чем

n

различных собственных

значений.

A – матрица линейного оператора

A :L → L в

Определение.

Пусть

некотором

базисе.

Характеристическим

многочленом

оператора

A

относительно

числа

λ

называется

многочлен

вида

P(λ) = det ( A − λE) =

A − λE

.

Утверждение. Характеристический многочлен оператора A не зависит

от выбора базиса.

Ae

и Af

A :L → L в

Действительно,

Матрицы

линейного

оператора

различных

базисах

e

и

f связаны

соотношением

A

f

=T −1

A T

e→ f

.

e→ f

e

Поэтому

A

f

− λE

=

T −1

A T

e→ f

−T −1

λ E T

e→ f

=

T −1

( A − λE) T

e→ f

=

e→ f

e

e→ f

e→ f

e

=

T −1

A − λE

T

e

→ f

=

A − λE

.

e→ f

e

e

Определение.

Уравнение

A − λE

= 0

называется

характеристическим уравнением оператора A .

Теорема. Для того чтобы число

λ

являлось собственным значением

оператора

A , необходимо и достаточно,

чтобы оно было действительным

корнем характеристического уравнения оператора A .

x ,

Замечание. Чтобы найти собственный вектор

отвечающий

собственному значению λ , надо решить СЛАУ

(A − λE) X =O ,

где X –

матрица-столбец координат вектора x , O – нулевая матрица-столбец.

Задача 1.

Найти

собственные

значения

и

собственные

векторы

оператора A :V3 →V3 .

Ax =[i, x].

I способ (формальный). Найдем матрицу

линейного

оператора

в

базисе

e = (i, j,k) .

Ai =[i,i]

=0 = (0,0,0) ,

Aj =[i, j]= k = (0,0,1) ,

0

0

0

Ak =[i,k]= − j = (0,−1,0) .

A =

0

0

−1 . Запишем характеристическое

0

1

0

A − λE

− λ

0

0

уравнение

=

0

− λ

−1

= 0 . Разложив

определитель по первой

0

1

− λ

строке, получим уравнение − λ(λ2 +1) = 0. λ = 0

– действительный корень

0x1 + 0x2 + 0x3 = 0

(A − λE) X =O при λ = 0 :

0x1

+ 0x2 − x3

= 0

. Решение системы имеет вид:

0x

+ x

2

+ 0x

= 0

1

3

x2 = x3 = 0, x1 =α ,

где

α – любое действительное число.

Таким образом,

x = (α,0,0)

α ≠ 0

является собственным вектором, отвечающим

собственному значению λ = 0 .

II способ.

Пусть

x

– собственный вектор

оператора

A ,

отвечающий

собственному значению λ , тогда Ax =[i, x]= λx . Учитывая, что вектор [i, x]

перпендикулярен вектору x , а вектор

λx при λ ≠ 0

коллинеарен вектору x ,

получим,

что

при

λ ≠ 0 уравнение

[i, x]= λx не

имеет

нетривиального

решения.

При

λ = 0

последнее уравнение

принимает

вид

[i, x]=0 .

векторы x коллинеарные вектору i , т.е. x = (α,0,0)

α ≠ 0 . Таким образом,

x = (α,0,0)

α ≠ 0

является

собственным

вектором

оператора A ,

отвечающим собственному значению λ = 0 .

Задача 2. Найти

собственные

значения

и

собственные векторы

линейного

оператора,

заданного

в

некотором базисе

матрицей

0

1

0

A =

− 4 4 0 .

− 2

1

2

Решение.

Запишем

характеристическое

уравнение

A − λE

− λ

1

0

=

− 4

4 − λ

0

= 0 .

Разложив

определитель

по

третьему

− 2

1

2 − λ

− 2x1 + x2 = 0 . Решение СЛАУ имеет вид: x1 =α, x2 = 2α, x3 = β

α, β .

Таким образом, x = (α,2α, β) для любых действительных α

и β ,

Замечание.

Собственный вектор

x = (α,2α, β) можно представить в

виде линейной

комбинации

двух

линейно

независимых

векторов

x =α(1,1,0)+ β(0,0,1).

Векторы

e1= (1,1,0)

и

e2 = (0,0,1)

порождают

собственное

подпространство

линейного

оператора

A ,

отвечающее

собственному значению λ = 2 .

C∞(R)

Задача 3.

В

линейном

пространстве

бесконечно

дифференцируемых на R

функций

найти все собственные

векторы

оператора дифференцирования.

Решение. Пусть

f (x)

– собственный вектор оператора дифференцирования,

отвечающий

собственному

значению

λ , тогда

′

Af (x) = f (x)= λf (x).

Функция

f (x)

является решением

дифференциального

уравнения с

разделяющимися

переменными

f

′

f (x) = 0

является

частным

(x)= λf (x).

решением этого уравнения. Разделив переменные, решим дифференциальное

уравнение:

df = λdx ;

ln

f

= λx +ln

c

c ≠ 0 ;

f (x)= ceλx

c ≠ 0 .

Добавив

f

решение

f (x) = 0 , получим общее решение дифференциального уравнения:

f (x)= ceλx c R . Таким образом, f (x)= ceλx

c ≠ 0 является собственным

вектором

оператора дифференцирования,

отвечающим собственному

значению λ λ R .

Задача 4.

Доказать,

что

характеристический

многочлен

p(λ)=

A −λE

=

(A −λE)T

=

AT −λET

=

− A −λE

= (−1)n

A +λE

.

Поскольку

p(λ)=

= p(− λ) для

n четно, (−1)n =1 и, следовательно,

A + λE

λ R , т.е.

p(λ) – четная функция.