29. Приращения ф-ии 2-х переменых

Дадим аргументу x приращение , аргументу y – приращение. Тогда ф-ия z получит наращенное значениеf(x+,y+). Величина=f(x+,y+)- f(x,y) наз. полным приращением ф-ии в т. (x,y). Если задать только приращение аргумента x или только y, то полученные приращения ф-ии: f(x+,y)- f(x,y) и z=f(x, y+)- f(x,y) наз. частными. Пример:Найти частные и полное приращения z=xy.

(x+)y-xy=y;z=x(y+)-xy=x ;= (x+)(y+)-xy= x +y+; Получим, что

30. Полный дифференциал ф-ции 2-ух переменных. Теоремы о дифференцируемости ф-ции 2-ух переменных.

Пусть ф-ция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности т.М, тогда ее полное приращение будет сл.:

∆z=f(x+ ∆x; у+∆у)-f(x,y)

Ф-ция z наз-ся дифференцированной в т.М, если ее полное приращение можно представить в виде:

∆z=А*∆x+В*∆у+α∆x+β∆у,

α-ф-ция от х,у →0 (α(х,у) →0 , β(х,у) →0 , при условии: ∆x →0, ∆у →0)

А*∆x+В*∆у-главная часть приращ. ф-ции z.

Она, линейная относит. приращ. Аргументов, наз. полным дифференциалом этой ф-ции dz

∆z=А*∆x+В*∆у, А*∆x-частный дифференциал по х, В*∆у-частный дифференциал по у

Для независимых переменных ∆x и ∆у, принимают ∆x=dx, ∆у=dy => dz= А*∆x+В*∆у

Т. Необходимое условие дифференциации ф-ции

Если ф-ция z=f(x,y) дифференцирована в т.М(х,у), то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные dz/dx (=A), dz/dy (=B)

!Обратное утверждение не верно

Т. Достаточное условие дифференцирования

Если ф-ция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные в т.М(х,у) dz/dx и dz/dy , то она дифференцирована в этой точке и полный дифференциал выражается в формуле:

dz=(dz/dx )*dx+(dz/dy)*dy ,или dz=f_x  (x,y)*dx+f_y (x,y)*dy

Вывод: чтобы ф-ция z=f(x,y) была дифференцирована в точке необходимо , чтобы она имела в ней частные производные , а достаточно , чтобы эти производные были непрерывными.

31.Дифференциалы высших порядков

Диф-лы 2-ого порядка:Пусть z=f(x,y)имеет непрерывные частные производные 2-ого порядка.Диф-л 2-ого порядка опр. по формуле:d²z=d(dz)=d(dx+dy)=( dx+dy)^'_xdx+(dx+dy)^'_ydy=(dx+dy)dx+(dx+dy)dy =>d²z=dx²+2dxdy+dy².Перепишем ф-лу в др.виде:d²z=(dx+dy)²z.

Д-л 3-его порядка:d³z=(dx+dy)³z=

Методом мат. индукции:dⁿz=(dx+dy)ⁿz Полученные ф-лы справедливы в случае,когда x и y независимы

32. Дифференцирование сложной ф-ии

Пусть ф-ия z=f(x,y)- ф-ия 2-ух переменных, каждая из к-ых является ф-ей независимой переменной t:x=x(t), y=y(t)

В этом случае ф-ия z=f(x(t),y(t)) явл. сложной ф-ей одной независимой переменной t. Переменные х и у – промежуточные переменные.

Теорема: если ф-ия z=f(x,y) диф-ма в т. М(х,у)эД и ф-ия х=х(t),y=y(t). Эти ф-ии диф-мы отнасительно независимой переменной t, то производная сложной ф-и z=f(x(t),y(t)) вычисляется по ф-ле:

Dz\dt=dz\dx*dx\dt + dz\dy*dy\dt

Частный случай:

Пусть ф-ия z=f(x,y), y=y(x) ═» z=(x,y(x)). Она явл. сложной ф-ей одной независимой переменной:

Dz\dt=dz\dx*dx\dx+dz\dy*dy\dx=dz\dx+dz\dy*dy\dx- ф-ла полной произв.

33.Диф-е неявной ф-ции

z=f(x,y)-неявная,если задается ур-ем F(x,y,z)=0,неразрешенным относ.z.Найдем частные производные ф-ции z,заданные ур-ем.Для этого подставим вместо z ф-цию f(x,y),то F(x,y,f(x,y))=0.Частные производные по x и по y тоже =0

y=const F(x,y,f(x,y))=

x=const F(x,y,f(x,y))==>

z^'_x== - ; z^'_y== -

Теорема о сущ-ии неявной ф-ции 2-ух переменных:Если ф-ция F(x,y,z) и ее производные-частные(F^'_x (x,y,z), F^'_y(x,y,z), F^'_z(x,y,z)) определены и непрерывны в некоторой окрестности М₀(x₀,y₀,z_0),причем F(М₀)=0,а F^'_z0,то сущ. окрестность в точке М₀,в кот.ур-е определяет единственную ф-цию z=f(x,y),непрерывную и диф-ую в окрестности(x₀,y₀₎ и такую,что f (x₀,y₀₎₌ z₀

№34 Экстремум ф-и двух переменных. Необход. и достаточные условия его сущ-я.

Мах. ф-и z=f(x;y) в тч. М₀(х₀;у₀) наз. такое ее знач. f(x₀;y₀), к-е > всех др. ее знач., принимаемых в тч. М(х;у) достаточно близких к тч. М₀ и отличных от нее. Аналогично опред-ся min.знач.

Max и min ф-и наз. ее экстремумом. Тч., в к-х достигается экстремум, наз. экстремальными тч.

Теорема: необходимое условие экстремумов ф-и 2-х пер-х. В тч. экстремума диф-мой ф-и 2-х пер-х частные производные ее =0.

1) f_x^/(x;y)=0

2) f_y^/(х;у)=0^{}→ df=0 (3)}

Из сист. (1;2) нах-ся стационарные тч. В общем случае в тч. М₀(х₀;у₀) ф-и z=f(x;y) выполняется условие (3) или диф-я не сущ-т.

Теорема: достаточное условие экстремума ф-и 2-х пер-х. Пусть тч. М₀(х₀;у₀) стационарная тч. (знач. х, у, найденные из сист. (1;2))

1.Если d²f(х₀;у₀)<0 при условии, что (d²x+d²y>0), то f(x₀;y₀) – max z=f(x;y).

2.Если d²f(х₀;у₀)>0 при том же условии, то знач. ф-и f(x₀;y₀) – min z=f(x;y).

или

Пусть f_x^/(x₀;y₀)=0, f_y^/(х₀;у₀)=0 и А=f^//_хх(x₀;y₀), В=f^//_ху(x₀;y₀), вводится С=f^//_уу(x₀;y₀) и

=А*С-В². Тогда: 1.) Если >0, то ф-я f(x;y) имеет в тч. М₀(х₀;у₀) экстремум: max при А<0 или С<0; min при A>0 или C>0. 2.)<0, то экстремумов в тч. М₀ нет.

Пр-р: f(x;y)=x²+y²-4x+6y+17. Найти экстремум f(x;y).

f_x^/=2х-4 → f_x^/=0 при х₀=2

f_y^/=2у+6 f_y^/=0 при у₀=-3 f^//_ххА=2 f^//_ууС=2 f^//_хуВ=0

= А*С-В²=2*2-0²=4>0

Т.к. A>0 (C>0), то тч. М₀(2;-3) – min.

№ 35. Нахождение max и min значений ф-ии.

Мах. ф-и z=f(x;y) в тч. М₀(х₀;у₀) наз. такое ее знач. f(x₀;y₀), к-е > всех др. ее знач., принимаемых в тч. М(х;у) достаточно близких к тч. М₀ и отличных от нее. Аналогично опред-ся min.знач.

Max и min ф-и наз. ее экстремумом. Тч., в к-х достигается экстремум, наз. экстремальными тч.

Пр-р: f(x;y)=x²+y²-4x+6y+17. Найти экстремум f(x;y).

f_x^/=2х-4 → f_x^/=0 при х₀=2

f_y^/=2у+6 f_y^/=0 при у₀=-3

f^//_ххА=2 f^//_ууС=2 f^//_хуВ=0

= А*С-В²=2*2-0²=4>0

Т.к. A>0 (C>0), то тч. М₀(2;-3) – min.

36.Понятие об обыкновенном дифференциальном ур. и его решении.

Ур. вида F(х,у,у^',у^'',…,уⁿ)=0 (1),связывающее аргумент х, неизвестную функ. у(х) и ее производные, называется обыкновенным диффер. уравнением. Порядок наивысшей производной неизвестной ф-ции,входящей в ур-ние (1), наз.порядком этого ур-ния.

(Например:у''- ху'- х²=0 – второго порядка).Решением дифф. ур-ния(1)назыв. Ф-ция у=φ(х),которая, будучи подставлена в ур.(1), обращает его в тождество. График этой ф-ции наз.интегральной кривой. Процесс отыскания решений наз.интегрированием дифф. ур-ния.В общем случае нахождения решений ур-ния (1) потребуется n последовательных интегрирований,поэтому общее решение будет содержать n произвольных постоянных, т.е.иметь вид у=φ(х,С₁,С₂,…,С_n) (2) или

Φ(х,у, С₁,С₂,…,С_n)=0 (3) Соотношение (3) наз. общим интегралом ур-ния(1). Придавая в соотношение (2) или (3) произвольным постоянным С₁,С₂,…,С_n конкретные числовые значения, получим частное решение или частный интеграл.

37.Дифф. ур. первого порядка, его решение и геометрический смысл.

Дифф. ур. первого порядка наз. ур-ние вида F=(х, у, у')=0 (1) или у'=f(х,у), (2),где у-неизвестная ф-ция; х-независимая переменная.Общее решение ур-ний (1) или (2) имеет вид у=φ(х,С) (3) или Φ(х,у, С)=0 (4).

Геометрический смысл. Решение дифф. ур-ния (1), проходящего через точку х,у должно иметь производную в этой точке - у' = f(х,у), т.е. она должна касаться прямой, наклоненной под углом

α=arktg f(х,у) и осью Ох. При этом говорят,что ур-ние(1) в обл. D задает поле направлений данного дифф. ур..Геометрическое место точек плоскости х,у в кот. наклон касательных к решению ур.(2) один и тот же наз.изоклиной. Ур. изоклины: f(х,у)=К,где К-const.

Задачу решения ур. (1) геометрически можно истолковать так: решить ур.(1) значит найти такую кривую,чтобы ее касательная в каждой точке имела направление,совпадающее с направлением поля в этой точке.