§32. Барометрична формула. Розподіл Больцмана частинок у зовнішньому потенціальному полі

Якщо на молекули не діють зовніш­ні сили, то вони рівномірно розподіляються по об’єму посудини. Однак молекули будь-якого газу завжди перебувають в полі сил тяжіння Землі. Якби не було тяжіння, то атмосферне повітря розсіялося б по всьому Всесвіту. А якби не було теплового руху молекул атмосферного повітря, то всі вони впали б на Землю. Тяжіння i тепловий рух приводять до стаціонарного стану газу, при якому його тиск i концентрація зменшується з висотою.

Розглянемо ідеальний газ, маси всіх молекул якого однакові, температура стала i який знаходиться в однорідному полі тяжіння. Якщо тиск газу на висотіhдорівнюєр(рис. 57), то на висотіh+dhвін дорівнюєp+dp,причому приdh>0 dp<0,оскільки тиск з висотою зменшується.

Різниця тиску p іp+dpчислово дорівнює вазі газу, що знаходиться в об’ємі циліндра заввишкиdh, а площа основи якого дорівнює одиниці:

,

де – густина газу на висотіh.

Використаємо рівняння Клапейрона-Менделєєва

.

Звідси, густина газу

.

Тоді

або .

Вважаючи й інтегруючи по тиску віддо, а по висоті від0до, отримуємо

, ,

звідси

, .

Ці формули називаються барометричними формулами. Із них можна зробити висновок, що тиск газу зменшується із висотою експоненціально і тим швидше, чим важчий газ (чим більше) і чим ниж­ча температура (рис. 58).

Барометрична формула дозволяє знайти співвідношення між концентраціями газу на різній висоті. Використаємо рів­няння стану ідеального газу у вигляді , де– концентрація молекул газу. Приотримуємо

,

де – концепція молекул на висоті.

Оскільки , а, то

,

де – потенціальна енергія молекул в полі тяжіння.

Із збільшенням висоти концентрація молекул газу зменшується за експоненці­альним законом (рис. 59). При високих температурах кількість молекулnнезначно зменшується з висотою і при, тобто підвищення температури викликає вирівнювання концентрації газу за висотою.

При , тобто всі молекули під дією сили тяжіння опускаються на дно посудини.

Больцман довів, що співвідношення

справедливе не тільки у випадку потенці­ального поля сил земного тяжіння, але і в довільному потенціальному полі сил для сукупності довільних однакових частинок, що знаходяться у стані хаотичного теплового руху. Тому вираз

називається розподілом Больцманау зовнішньому потенціальному полі.

Із цього виразу видно, що чим менша потенціальна енергія молекул, тим більша їх концентрація.

Враховуючи, що , де- число Авогадро, із розподілу Больцмана отримуємо

,

де і- концентрація молекул на рівняхі. Цей вираз закону Больцмана можна використати для експериментального визначення числа Авогадро:

.

Однак молекул газу у мікроскоп не видно. Ж. Перрен досліджував розподіл за висотою посудини найдрібніших частинок емульсії смоли гумігуту у воді. Зерна емульсії мали форму кульок діаметром близько десятих часток мікрона, їх було видно у мікроскоп.

В отриманій формулі для пот­рібно врахувати виштовхувальні сили, які діють на частинки емульсії з боку води, тобто маса

,

де - маса частинки,- маса води, яка витіснена частинкою,- радіус частинки,- густина частинки,- густина води. Отже,

.

З подібних дослідів Ж. Перрен виз­начив, що .