§31. Розподіл Максвелла молекул ідеального газу за швидкостями теплового руху

Завдяки безладним рухам молекул і завдяки взаємним зіткненням молекул під час цього руху кожна молекула зокрема може змінювати свою швидкість як за величиною, так і за напрямком. Тому в газі будуть як швидкі, так і повільні молекули. Але, хоча швидкості окремих молекул змінюються, властивості газу у стані термодинамічної рівноваги загалом при цьому не змінюються: параметри системи залишаються сталими. Зумовлено це тим, що швидкості газових молекул підлягають певному законові, тобто, незважаючи на повну хаотичність молекулярних рухів, розподіл молекул за швидкостями виявляється не випадковим, а цілком визначеним. До того ж він є однозначним і єдино мож­ливим.

Дж. Максвелл теоретично розв’язав задачу про розподіл молекул ідеального газу за швидкостями поступального руху. Він встановив закон, що дає змогу визначити, яка кількість молекул dnіз загальної кількостіnмолекул ідеального газу в одиниці об’єму мають при даній температурі швидкості, які лежать в інтервалі віддо. Дж. Максвелл вважав, що газ складається з великої кількостіnоднакових молекул, температура в усіх частинах посудини з газом теж однакова і відсутні зовнішні дії на газ.

Якщо розбити діапазон швидкостей молекул на нескінченно малі інтервали, які дорівнюють , то на кожний інтервал швидкості припадатиме деяка кількість молекул, що мають швидкість в інтервалі.

Закон Максвелла описується деякою функцією , що називається функцією розподілу молекул за швид­костями руху.Ця функція визначає відносну кількість молекул, швидкості яких лежать в інтервалі віддо, тобто

, звідси .

Добуток – це ймо­вірність того, що величина швидкості окремої молекули знаходиться міжі.

Застосовуючи методи теорії ймо­вірності, Максвелл знайшов функцію у такому вигляді:

.

Конкретний вигляд функції залежить від роду газу і від параметра стану. Графік функціїнаведений на рис. 55. Функціяпочинається від нуля, досягає максимуму, а потім асимптотично прямує до нуля. Крива несиметрична відносно максимального значення. Відносна кількість молекул, швидкості яких лежать в інтервалі віддо, числово дорівнює площі заштрихованої ділянки на рис. 55.

Вся площа, обмежена кривою розподілу і віссю абсцис, числово дорівнює числу молекул, швидкості яких мають різні значення від 0до ∞. Оскільки цю умову задовольняють всіnмолекул, то площа, що розглядається, дорівнює одиниці:

.

Швидкість, при якій макси­мальна,називається найімовірнішою швидкістю . Для знаходженнявикористаємо умову максимуму функції:

.

Звідси,

,

оскільки

, .

Середня арифметична швидкість молекул визначається за формулою

.

Підставляючи сюди й інтегруючи, отримаємо

.

Отже, є три швидкості, які характеризують стан газу (рис. 55):

найімовірніша

;

середня арифметична

;

середня квадратична

.

При збільшенні температури (або зменшенні маси молекул) максимум кривої зміщується у бік більших швидкостей, а його абсолютна величина зменшується, причому площа, яка охоплена кривоюі віссю, залишається незмінною (рис. 56).

На рис. 56 наведено дві криві розподілу, які відповідають температурамідля молекул одного газу або масамімолекул різних газів при однаковій температурі.

Закон Максвелла зручно формулювати, ввівши відносну швидкість, де– дана швидкість, а– найімовірніша швидкість для молекул даного газу при даній температурі.

Розподіл, який визначає кількість молекул, відносні швидкості яких лежать в межах від до, має такий виг­ляд:

.

Знайдемо середню відносну швидкість молекул ідеального газу:

,

де – середня арифметична швидкість.

Виходячи із розподілу молекул за швидкостями

,

можна знайти розподіл молекул за значеннями кінетичної енергії поступального руху. Для цього перейдемо від змінної до змінної. Звідси

і .

Підставимо ці вирази у . У результаті отримуємо співвідношення, яке визначає кількість молекул, кінетична енергія пос­тупального руху яких має значення, які лежать в межах віддо:

.