§41. Цикл Карно I його коефіцієнт корисної дії для ідеального газу

Розглянемо коловий процес, в результаті якого тепло, відняте від якогось тіла, можна перетворити в роботу i притому якнайкраще.

Карно довів теорему: із всіх періо­дично діючих теплових машин, що мають однакові температури нагрівачів i холо­дильників, найбільший коефіцієнт корисної дії (ККД) мають оборотні машини; при цьому ККД оборотних машин, що працюють при однакових температурах нагрівачів i холодильників, дорівнюють один одному i не залежать від природи робочого тіла.

Цикл Карно складається з двох ізотерм i двох адіабат (рис. 85).

Ізотермічне розширення i стиск задані відповідно, кривими 1-2i3-4, адіабат­не розширення i стиск – кривими2-3i4-1. Для виконання циклу Карно необхідні термостат з температурою(нагрівник) i термостат з температурою(холодильник), причому. При проходженні адіабатних ділянок циклу система повинна бути термоізольованою від навколишнього середовища.

Визначимо ККДциклу Карно. При ізотермічному процесіi робота розширення газудорівнює кількості теплоти, що отримав газ від нагрівника:

.

При адіабатному розширенні робота виконується за рахунок зміни внутрішньої енергії:

.

При ізотермічному стисканні газу виконується робота i газ віддає холодильнику кількість теплоти:

.

Робота адіабатного стискання:

.

В результаті колового циклу виконується робота

.

Термічний ККДциклу Карно

.

Використаємо рівняння адіабат 2-3і4-1:

, ;

.

Звідси

.

Тоді,

і

.

Отже, ККД циклу Карно визначається лише температурами нагрівника i холодильника.

Для підвищення ККДнеобхідно збільшити різницю температур нагрівача і холодильника. Наприклад, приі. Якщо ж температура нагрівника зросте до, тобто різниця температур збільшиться на, то.

Довільна реальна машина втрачає деяку кількість теплоти через теплообмін з навколишнім середовищем, що знаходиться при нижчій температурі. Позначимо цю втрату теплоти . Крім того, на подолання сил тертя, які існують у всякій реальній машині, тратиться деяка кількість теплоти.

Отже, робота реальної машини

,

де

.

Формула коефіцієнта корисної дії реальної теплової машини має вигляд:

.

З виразу ККДмашини, що працює за циклом Карно отримуємо

;;

Згідно з теоремою Карно, ККД оборотного циклу Карно не залежить від природи робочого тіла. Звідси і відношення не залежить від природи робочого тіла. Оскільки відношення температурвимірюється відношенням теплоти, томожна використати для встановлення шкали температур, яка не залежить від термометричного тіла.

§42. Ентропія. Ентропія ідеального газу

Формулу коефіцієнта корисної дії ідеальної теплової машини, що працює за циклом Карно,

приведемо до вигляду

і .

Відношення кількості переданої теплоти до температури тепловіддавача або теплоприймача називаєтьсязведеною кількістю теплоти.

Під час виконання циклу Карно зведені кількості теплоти при процесах ізотермічного розширення і стиску однакові.

Розглянемо деякий оборотній цикл, . Проведемо ряд нескінченно близьких адіабат, які перетинають лінії прямогоі зворотногопереходів (рис. 86).

Кожну з ліній іможна вважати такою, що складається з ряду нескінченно близьких ізотерм, на яких робоче тіло одержує від ряду нагрівників, що знаходяться при температурах,, … кількості теплоти,,… і віддає ряду холодильників, що знаходяться при температурах,,…, кількості теплоти,,… . До кожного циклу застосуємо формулу про рівність зведених кількостей теплоти:

, ,…

і додамо отримані вирази:

.

Звідси сума зведених кількостей теплоти не залежить від шляху переходу.

Це положення називається теоре­мою Клаузіуса.

У випадку необоротної теплової машини

і .

Тоді, об’єднавши формули для оборотної і необоротної теплових машин, маємо:

і .

Умовимося кількість теплоти, яка віддана тілу нагрівником, вважати додатною, а кількість теплоти, віддану тілом холодильнику, – від’ємною. Тоді

,

причому „ = ” – відповідає оборотним переходам, а „ < ” – необоротним.

В загальному вигляді

.

При неперервній зміні стану тіла можна вважати, що воно входить в теплообмін з неперервним рядом нагрівників і холодильників. Кожен з цих нагрівників і холодильників віддає робочому тілу або отримує від нього нескінченно малі кількості теплоти . Тоді сума

перетворюється в інтеграл

.

Це співвідношення називається рівністю (нерівністю) Клаузіуса.

Розглянемо оборотний цикл (рис. 86). Запишемо рівність Клаузіуса у вигляді суми двох інтегралів:

.

Звідси,

.

Незалежність інтегралу від виду оборотного переходу між станами1 і 2означає, що цей інтеграл виражає зміну деякої функції стану тіла. Підінтегральний виразє повним диференціалом деякої функції, яка визначається лише станом системи і не залежить від виду процесу, в ході якого система прийшла в цей стан. Отже,

.

Функція стану, диференціал якої є , називаєтьсяентропією S.

Згідно з визначенням зміна ентропії при оборотному процесі

.

Ця формула визначає ентропію лише з точністю до адитивної сталої, тобто початок відліку ентропії довільний.

Кожний стан тіла характеризується певним значенням ентропії S, яка є повним диференціалом.

Ентропія – адитивна функція стану системи: ентропія системи дорівнює сумі ентропій всіх тіл, що входять в систему.

Розглянемо фізичний зміст ентропії.

Аналізуючи роботу машини, яка працює за циклом Карно, доходимо вис­новку, що ККДзалежить від температури нагрівника. Наприклад, при однаковій тем­пературі холодильників, але при різних температурах нагрівниківі, причому, отримаємо

, ,

тобто .

Це означає, що при високій температурі передачі кількості теплоти робочому тілу ефективність теплової машини зростає, тобто більша кількість переданої теплоти перетворюється в роботу. З іншого боку, зміна ентропії залежить від температури. При вищій температурі нагрівника зростання ентропії буде меншим, ніж при низькій, оскільки температура входить у знаменник виразу для ентропії. Отже, більшому зростанню ентропії відповідає зменшення ККД.Це означає, що цінність переданої нагрівником певної кількості теплотизалежить від температури. Оскільки ентропія більше зростає при низьких температурах, зрозуміло, що великому зростанню ентропії відповідає мала цінність нагрівника.

Отже, ентропію можна розглядати як міру знецінення енергії тіла.

Ентропія – міра теплової непрацездатності тіла.

Розглянемо цикл , частина якогонеоборотна, вона здійснюється нерівноважним процесом, а частинаоборотна, виконується рівноважним процесом. Тоді на основі

,

; ,

тобто інтеграл від по необоротному шляху завжди менший від інтеграла по оборотному шляху між тими ж станами. Але

; .

При необоротному процесі

менший від зміни ентропії в даному процесі.

Тоді,

.

Для оборотного рівноважного циклу зміна ентропії

.

Якщо система виконує необоротний цикл, то ентропія системи зростає: .

Ентропія замкненої системи при будь-яких процесах, що в ній відбуваються, не може зменшуватися: .

Знайдемо зміну ентропії у процесах ідеального газу:

.

Зміна ентропії ідеального газу при переході його із стануу станне залежить від виду процесу переходу.

При адіабатному процесі

і .

Для оборотного адіабатного процесу зміна ентропії дорівнює 0, для необо­ротного– ентропія тіла зростає.

Оборотний адіабатний процес – ізоентропічний процес.

При ізотермічному процесі

і ,

при ізохоричному процесі

і .

Розглянемо, як змінюється ентропія при деяких термодинамічних процесах.

На нагрівання тіла від температури до температуривитрачається кількість теплоти

.

Тоді

.

В процесі теплообміну кількість теплоти переходить від тіла з більш високою температуроюдо тіла з більш низькою температурою. Ентропія системи, що складається з цих двох тіл змінюється на величину

.

Оскільки , то ентропія при теплообміні зростає.