Konspekt lekcil

Якщо позика в розмірі D0 видана на термін T і повинна погашатись по частинах у вигляді трьох платежів R1 , R2 та R3 то контур такої фінансової операції може виглядати наступним чином

Але на часових інтервалах між двома суміжними платежами заборгованість зростає в силу нарахування процентів. При цьому, якщо регулярний платіж захоплює основну частину боргу, то подальші процентні відрахування будуть здійснюватись від залишку заборгованості.

Збалансовані фінансові операції обов'язково мають замкнений фінансовий контур.

Контур даної фінансової операції може бути зображеним у вигляді наступного графіку:

Часткові платежі Короткотермінові зобов'язання деколи погашаються за допомогою

послідовності часткових платежів. В цьому випадку необхідно вирішити питання, яку суму брати як базу для розрахунків процентів та яким шляхом визначати залишок заборгованості.

Існує два можливих методи рішення даної задачі:

актуарний метод;

торгівельний метод.

Якщо немає інших обумовлень, то як правило використовуються звичайні проценти з наближеною кількістю днів.

Актуарний метод передбачає послідовне нарахування процентів на фактичні суми боргу. При цьому частковий платіж йде в першу чергу на погашення процентів, що нараховані на дану суму платежу. Якщо величина платежу перевищує суму нарахованих процентів, то різниця іде на погашення основної суми боргу. Непогашений залишок боргу служить базою для нарахування процентів за наступний період. Якщо нарахований платіж менший від нарахованих процентів, то жодні зарахування до суми боргу не робляться. Таке поступлення приплюсовується до наступного платежу.

Для операції контур котрої показаний на попередньому малюнку отримуємо

K 1 = D0 (1+ t1 i) - R1

K 2 = K 1 (1+ t2 i) - R2

наступні розрахункові формули для визначення залишку заборгованості:

79

0 = K 2 (1+ t3 i) - R3

Актуарний метод в певний мірі порушує принцип нарахування простих процентів, оскільки проценти нараховуються не на основну суму боргу, а на залишок заборгованості, котрий в ряді випадків може містити проценти, що були нараховані раніше.

Інший підхід використовується при правилі торговця.

В даному випадку є можливими два варіанти. Якщо термін позики не перевищує одного року, то сума боргу з нарахованими на них процентами залишається незмінною до повного її погашення.

Паралельно йде накопичення часткових платежів з нарахованими на них до кінця терміну процентами. Останній внесок повинен збалансувати борг та платежі.

У випадку, коли термін погашення заборгованості перевищує один рік, то вказані вище розрахунки робляться для річного періоду заборгованості. В кінці року з суми заборгованостей віднімається нарощена сума накопичених часткових платежів. Залишок за тим самим правилом погашається в наступному році.

S = D - K = P (1+ n* i) - R j (1+t j i)

Алгоритм даної операції можна записати наступним чином: S - залишок боргу на кінець року або терміну;

D - нарощена сума боргу;

K - нарощена сума платежів; R j - сума часткового платежу; n - загальний термін позики;

t j - інтервал часу від моменту платежу до кінця терміну позики або року. Наприклад, зобов'язання датоване 10 серпня 1994 р. повинно погашатись 10 червня 1995 р. Позика 1.5 млн. грн. видана під 20% річних. В рахунок

погашення заборгованості 10 грудня 1994 р. поступило 800 тис. грн.

Залишок боргу на кінець року буде становити: При застосуванні актуарного методу отримаємо:

80

Нарощування та виплата процентів у споживчому кредиті.

При споживчому кредиті проценти обчислюються як правило на всю суму кредиту та приєднуються до основної суми боргу вже в момент відкриття кредиту. Такий метод називається разовим нарахуванням процентів. Погашення боргу з процентами відбувається по частинах на протязі всього терміну кредиту.

S = P (1 + n i)

При цьому нарощена сума боргу дорівнює:

R = S m n

а величина одноразового платежу для погашення дорівнює: де n - термін кредиту в роках;

m - кількість платежів у році.

Задача, котра ставиться при аналізі споживчого кредиту, полягає в розбивці величини R на проценти та суми, котрі йдуть на погашення основного боргу.

Наприклад, кредит для покупки товару на суму 1 млн. грн. відкритий на три роки, процентна ставка 15%, виплати здійснюються в кінці кожного місяця.

S = 1 (1+ 3 * 0.15) = 1.45 грн.

Сума боргу з процентами становить:

щомісячні платежі будуть становити:

Дисконтування та облік за простими обліковими ставками. Ріст за обліковою ставкою

81

У фінансовій практиці ми часто зустрічаємося з оберненою задачею, коли за величиною суми, котру потрібно заплатити в рахунок повернення боргу слід визначити суму початкового боргу.

В цьому випадку говорять, що сума, котру необхідно повернути дисконтується або обліковується.

Сам процес нарахування процентів та їх утримання називають врахуванням або дисконтом.

Термін дисконтування використовується і в більш широкому змісті - як засіб визначення будь-якої вартісної величини, що відноситься до майбутнього, на деякий більш ранній момент часу.

Такий прийом часто називають приведенням вартісного показника до певного початкового моменту часу.

Величину P, знайдену за допомогою дисконтування називають сучасною величиною суми S, а деколи, в залежності від контексту сучасною капіталізованою вартістю.

В залежності від виду процентної ставки застосовують два методи дисконтування:

математичне дисконтування

банківський (комерційний) розрахунок. Математичне дисконтування

Математичне дисконтування - це задача обернена до нарощування початкової суми позики.

Дане співвідношення може виражатись у вигляді формули:

1

1 + n i

Дріб називають дисконтним множником. Даний множник показує, яку частку складає початкова сума величини боргу в його кінцевій сумі.

Різницю S - P можна розглядати не лише як проценти нараховані на початкову суму боргу.

Наприклад, через 180 днів після підписання договору боржником буде виплачено 310 тис. грн. Кредит видається під 16% річних. Яка початкова сума боргу при умові, що часова база дорівнює 365 дням.

У відповідності до формули знаходимо:

82

Дисконт дорівнює: D = 310000 - 287328.59 = 22671.41 грн.

Банківське зарахування векселів Суть операції полягає у наступному: банк або фінансова установа до

настання терміну платежу за векселем чи іншим платіжним зобов'язанням, купує його у власника по ціні, котра є меншою від суми, що вказується у векселі, тобто купує його з дисконтом.

Отримавши гроші при настанні терміну погашення векселя, банк реалізує дисконт.

Попередній власник векселю має можливість отримати гроші, хоч і не в повному обсязі, але зате раніше від наміченої суми.

При зарахування такого векселю застосовують банківський або комерційний залік.

У відповідності до даного методу - проценти за використання позики у вигляді дисконту нараховуються на суму, що належить до виплати в кінці терміну.

Таким чином:

P = S - S n d = S (1 - n d)

Дисконтний множник в даному випадку дорівнює (1+nd).

Врахування шляхом використання облікової ставки найчастіше здійснюється при змінній базі К =360 днів, а кількість днів позики найчастіше обирається точним.

Наприклад, тратта видана на суму 1 млн. грн. з виплатою 17 листопада 1995 р. Власник даного векселю зарахував його в банку 23 вересня 1995 р. по обліковій ставці 20%. Термін до виплати залишився 55 днів. Отримана при

зарахування сума (без виплати комісійних) дорівнює: Дисконт буде складати 30555,6 грн.

Нехай на початкову суму нараховуються проценти по ставці простих процентів i=20,5% річних. В цьому випадку необхідно визначити нарощувану суму боргу та суму котра отримується при зарахуванні.

83

P1 = P (1 + n i)(1 - n1 d)

Дані дії представляються наступною формулою: де n - загальний термін зобов'язання;

n1 - термін від моменту зарахування до погашень.

У випадку коли n=120/360, тоді

Нарощування за обліковою ставкою.

Проста облікова ставка в деяких випадках використовується при обліку суми, котра нарощується.

Зокрема, в цьому виникає необхідність при визначенні суми, котру потрібно проставити у векселі, якщо задана поточна сума боргу.

Нарощена сума в даному випадку буде становити:

Множник нарощування в даному випадку буде дорівнювати 1/(1-nd). Наприклад, за даними попередньої задачі визначимо нарощувану суму при

умові, що проценти нараховуються за простою обліковою ставкою d+18%.

Ставка нарощування та облікова ставка, прямі та обернені задачі.

Для ставки нарощування прямою задачею є визначення нарощеної суми, а оберненою - дисконтування. Для облікової ставки навпаки - пряма задача полягає в дисконтуванні, а обернена - в нарощуванні.

84

Очевидно, що розглянуті два методи дисконтування приводять до різних результатів навіть у випадку, коли i = d.

Облікова ставка відображає фактор часу більш жорстко і при відносно великому терміні векселя зарахування може привести до нульової або навіть від'ємної суми, що позбавлено змісту.

Вплив фактору часу посилюється при збільшенні величини ставки. Дана ситуація не виникає при математичному дисконтуванні: при будь-якому терміні часу величина платежу в даному випадку є більшою від нуля.

Для ілюстрації зобразимо дисконтні множники у вигляді таблиці та графіку:

Визначення терміну позики та величини процентної ставки При розробці умов контрактів та їх аналізі виникає необхідність у

розв'язку ряду вторинних задач - визначенні терміну позики або розміру процентної ставки в тому чи іншому виді при всіх решта заданих умовах.

Термін позики

Необхідні формули для розрахунку терміну позики наведені нижче:

85

t = S - P * K P i

t = SS - dP * K

термін в днях:

Наприклад, визначити, яка повинна бути тривалість позики в днях для того, щоб борг, що дорівнює 1000000 грн. виріс до 1200000 грн., при умові нарахування простих процентів за ставкою 25% річних та у випадку К =365 днів.

t = 1.2 - 1.0 * 365 = 292 1 * 0.25

Величина процентної ставки Необхідність у розрахунку процентної ставки виникає при визначенні

фінансової ефективності операції та при порівнянні контрактів за їх дохідністю у випадку, коли процентні ставки в явному виді не вказані.

При цьому можна скористатися наступними формулами:

Наприклад, в контракті передбачається погашення зобов'язання в сумі 110 млн. грн. через 120 днів. Початкова сума боргу - 90 млн. грн. Необхідно визначити дохідність позикової операції для кредитора у вигляді річної ставки проценту та облікової ставки.

Знаходимо:

86

Деколи розмір дисконту фіксується у договорі у вигляді проценту скидки (загальної облікової ставки) за весь термін позики - d 1 .

P= S (1 - d1 )

В даному випадку:

i = d1

n (1 - d1 )

Враховуючи, що P=S/(1+ni), знаходимо річну ставку нарощування:

Річну облікову ставку зможемо знайти за формулою: d = d1

n

СКЛАДНІ ПРОЦЕНТИ

Нарахування складних річних процентів При середньота довготермінових кредитних операціях, якщо проценти

не виплачуються після їх нарахування одразу, а приєднуються до суми боргу, то для нарахування застосовують складні проценти.

Приєднання нарахованих процентів до суми, котра послужила базою для їх нарахування, часто називають капіталізацією процентів.

Для запису формули нарощення застосуємо наступні позначення: P - початковий розмір боргу;

S - нарощена сума;

n - термін нарощування;

I - ставка нарощування за складними процентами.

S = P* (1 + i )n

Нарощена сума на кінець року буде становити:

I = S - P = P [(1 + i )n - 1]

Проценти нараховані за даний період дорівнюють:

Проценти за кожен послідовний рік збільшуються. Для певного проміжного року t вони дорівнюють:

I t = St - 1 * i = P* (1 + i )t -1 * i

87

Ріст за складними процентами являє собою процес геометричної прогресії, перший член якої дорівнює P, а знаменник - (1+i).

Величину q = (1 + i )n називають множником нарощування за складними процентами.

Значення даного множника для цілих значень процентів та років наводяться в таблицях складних процентів.

Наприклад, якої величини досягне борг, котрий дорівнює 1 млн. грн.,

S = 1000000* (1 + 0.155)5 = 2 055 464.22 грн.

через п'ять років при рості за складною ставкою 15,5% річних.

При великому терміні нарощування навіть невелика величина процентної ставки помітно впливає на величину множника нарощування.

Острів Манхеттен, на котрому розташована центральна частина НьюЙорку, був куплений (виміняний) за 24 дол. Через 350 років вартість землі цього острову оцінюється в 40 млрд. дол.

Такий ріст досягається всього при процентній ставці в 6,3% річних.

q = (1 + 2.2 )10 = 112 589.99

Наприклад, вже при I=220% та n=10 отримаємо множник нарощування: Величину n можна застосовувати і при інших періодах нарахування, тоді

ця величина буде становити число періодів нарахування.

Нарахування процентів в суміжних календарних періодах На практиці дати початку та кінця періодів нарахування складних

процентів часто знаходяться в суміжних календарних періодах. Як і у випадку простих процентів виникає задача розподілу процентів за періодами.

Якщо загальний термін позики становить менше двох років, то він ділиться на два періоди - відповідно n1 та n2.

В даному випадку доцільно застосовувати формулу:

I = I 1 + I 2

I 1 = P [(1 + i )n1 - 1]

I 2 = P (1 + i )n1 * [(1 + i )n2 - 1] = P * [(1 + i )n - (1 + i )n1 ]

Змінні ставки

88