Konspekt lekcil

Попередні формули є справедливими у випадку постійної ставки нарощування на протязі всього періоду.

На практиці частіше застосовують модернізовані плаваючі ставки. Формула нарощування в цьому випадку буде приймати вигляд:

S = P* (1 + i1 )n1 * (1 + i2 )n2 * ...* (1 + ik )nk

де

i1 ,i2 ,...,ik - послідовні в часі значення ставок;

n1 , n2 ,...,nk - періоди, на протязі котрих дійсні дані ставки.

Наприклад, при терміні позики 5 років, та договірній процентний ставці 12% та маржі 0,5% в перші два роки та 0,75% за решта періоду будемо мати множник нарощування котрий дорівнюватиме:

q = (1 + 0.125 )2 * (1 + 0.1275 )3 = 1.81407

Нарахування процентів при дробовій кількості років Часто термін нарахування процентів не є цілим числом. В практиці ряду

комерційних банків складні проценти в даному випадку нараховуються лише за повну кількість років. В більшості інших випадків враховується повний термін.

При цьому застосовують два можливих методи:

загальний метод;

змішаний метод.

Другий змішаний метод передбачає нарахування процентів за цілу кількість років по формулі складних процентів та по формулі простих

S = P* (1 + i )a * (1 + b i)

процентів за дробову частину періоду:

де a + b = n

a - ціла кількість періодів;

b - дробова частина періоду.

При виборі методу слід мати на увазі, що множник нарощування за змішаним методом виявляється дещо більшим, ніж при загальному методі, оскільки при n<1 справедливим є співвідношення 1 + n i >(1 + i )n . Найбільша різниця спостерігається при b=0,5.

89

Наприклад, кредит в розмірі 3000000 грн. Виданий на три роки та 160 днів, тобто (n=3 160/365 = 3.43836 року) під 16.5% складних процентів річних.

Сума боргу на кінець терміну буде становити:

S = 3000000 *1.1653.43836 = 5 071934.82 грн.

При використанні змішаного методу отримаємо:

S = 3000000*1.1653 * (1 + 0.438356 * 0.165) = 5 086 592.85 грн.

Ріст за складними та простими процентними ставками Для того, щоб зіставити результати нарощування за різними

процентними ставками, необхідно порівняти відповідні множники нарощування.

При однакових рівнях процентних ставок співвідношення даних множників суттєво залежить від терміну.

Для того, щоб відрізняти складні та прості процентні ставки, використаємо підписний індекс s для ставки простих процентів.

Отримаємо наступні співвідношення:

( 1+ n is )>( 1+ i )n

для терміну менше від одного року;

(1 + n is ) < (1 + i )n

для терміну більше від одного року;

(1 + n is ) = (1 + i )n

для терміну одного року при умові, що часовий базис для нарахування процентів є одним і тим самим.

Слід зазначити, що при збільшенні терміну починаючи з одного року, різниця у наслідках від застосування простих та складних процентів посилюється.

В таблиці показані значення множників нарощування для

365 днів.

90

Порівняння множників нарощування

Термін позики та формули подвоєння Різниця в наслідках застосування простих та складних процентів

найбільш наглядно проявляє себе при визначенні часу, необхідного для збільшення початкової суми в N раз.

В даному випадку множник нарощування дорівнює N, а, отже:

для простих процентів 1+ n is = N , звідки:

n = N - 1 is

для складних процентів ( 1+ i )n = N , звідки:

n = ln N ln (1+ i)

Наприклад, визначимо кількість років, необхідну для збільшення початкового капіталу в п'ять разів, застосовуючи складні та прості проценти за ставкою 15% річних:

ln 5

n = ln 1.15 = 11.52

n = 5 - 1 = 26.67 0.15

Найбільш наглядно вплив виду ставки, можна показати при співставленні кількості років, котрі необхідні для подвоєння початкової суми.

Прийнявши при цьому значення N=2, отримуємо наступні формули подвоєння:

n = 1 is

подвоєння за простими процентами;

91

n= ln 2 ln ( 1+ i )

подвоєння за складними процентами.

Наприклад, знайти терміни подвоєння для I=25,5%

ln 2

n = ln 1.225 = 3.41

1

n = 0.225 = 4.44

Результати застосування формул подвоєння для ряду значень наведені в таблиці.

Нарощування процентів m раз на рік, номінальна та ефективна ставки Номінальна ставка В сучасних умовах проценти капіталізуються в більшості випадків не

один раз на рік, а декілька разів - по півріччях, кварталах, тощо.

Декотрі зарубіжні комерційні банки практикують навіть щоденне нарахування процентів.

У випадку якщо річна ставка дорівнює j, а кількість періодів нарощування в році дорівнює m, тобто проценти нараховуються за ставкою j/m можна використати формулу:

де N - загальна кількість періодів нарахування; j - номінальна річна ставка (десятковий дріб).

92

У випадку коли N - ціле число, тобто (N = mn), в більшості випадків можна використати таблицю складних процентів.

В інших випадках необхідно проводити розрахунки по формулі. Наприклад, якої величини досягне борг, котрий дорівнює 1 млн. грн.,

через п'ять років при рості за складною ставкою 15,5% річних та при нарахуванні поквартальних процентів. В даному випадку N=20 є

а у випадку нарахування один раз на рік отримуємо:

S = 1000000* (1 + 0.155 )5 = 2 055 464.22 грн.

При частішому нарахуванні процентів прискорюється процес нарощування.

Для ілюстрації сказаного приведемо значення множників нарощування для j=20% та n=10 років при різній частоті нарощування.

Наприклад, знайдемо суму боргу через 25 місяців, якщо його початкова величина 500 тис. грн., проценти складні, ставка 20% річних, нарахування щоквартальне.

За умовою даної задачі кількість періодів нарощування N=25:3=8 1/3. Застосуємо два методи нарощування - загальний та змішаний. Відповідно

отримаємо:

Ефективна ставка Введемо поняття - дійсна або ефективна ставка проценту.

Дана ставка вимірює той реальний відносний дохід, котрий отримують за рік від нарахування процентів. Тобто ефективна ставка - це річна ставка

93

складних процентів, котра дає той самий результат, що і m-разове нарахування процентів за ставкою j/m.

Будемо позначати ефективну ставку і. За визначенням множники

нарощування даних двох ставок повинні дорівнювати одна одній, тобто: звідки

Як видно з даної формули ефективна ставка при m>1 є більшою від номінальної, а при m=1 отримуємо I=j.

Заміна у угоді номінальної ставки j при m-разовому нарахуванні

процентів на ефективну ставку не змінює фінансових зобов'язань сторін учасників, тобто обидві ставки еквівалентні в фінансовому відношенні.

Наприклад, знайти величину ефективної ставки, при номінальній ставці, що дорівнює 25% при щомісячному нарахуванні процентів.

Для сторін угоди нема різниці застосовувати ставку 25% (при щомісячному нарахуванні) чи річну ставку 28,0732%

При підготовці контрактів деколи виникає необхідність в розв'язанні оберненої задачі - у визначенні j по заданих значеннях і та m. Для цього можна використати формулу:

j = m ( m 1+ i - 1 )

Дисконтування за складною ставкою проценту При вивченні простих процентів ми обговорювали математичне

дисконтування та банківське (комерційне) зарахування.

Перше полягало у визначенні P при заданому значенні S при заданій ставці проценту, друге при заданій обліковій ставці.

94

Продемонструємо математичне дисконтування за складною ставкою проценту.

Отримаємо:

отримуємо формули:

Величину P отриману шляхом дисконтування S називають сучасною величиною або сучасною вартістю S.

Сучасна вартість може бути розрахованою на любий момент до виплати

суми S.

Різницю S - P, у випадку коли P визначено шляхом дисконтування, називають дисконтом. Будемо позначати його - D, а для визначення використаємо формули:

D= S - P = S ( 1 - n )

D= S - P= S ( 1 - m n )

Наприклад, сума 5 млн. грн. виплачується через п'ять років. Необхідно визначити її сучасну вартість при умові, що застосовується ставка складних процентів, котра дорівнює 12% річних. Дисконтний множник для даних умов складає величину:

n = 1.12-5 = 0.565743

95

P = 5 000 000* 1.12-5 = 2 837 134.28

тобто сума зменшується (дисконтується) майже на 44%. Сучасна її величина дорівнює:

Теперішня (сучасна) вартість суми грошей - одна з найважливіших характеристик, котрі застосовуються в фінансовому аналізі.

Зупинимося коротко на її основних властивостях.

Перш за все, чим вища ставка проценту, тим сильніше відбувається процес дисконтування при інших рівних умовах.

Наприклад, якщо за умовами попереднього прикладу збільшити ставку в два рази, то дисконтний множник зменшиться з 0.5674 до 0.3411.

Значення дисконтного множника зменшується також і з ростом величини

m.

Зі збільшенням терміну дисконтування при інших рівних умовах, розмір теперішньої вартості зменшується.

Наприклад, інфляційні ставки приводять до страшних результатів навіть при відносно невеликих термінах. Так, при ставці інфляції 200% та терміні 5 років дисконтний множник дорівнює 0.004116, тобто наближається до нуля.

Операції зі складною обліковою ставкою. Облік за складною обліково ю ставкою

В практиці облікових операцій деколи застосовують складну облікову ставку.

В даному випадку процес дисконтування відбувається зі сповільненням, оскільки кожен раз облікова ставка застосовується не до початкової суми, а до суми вже дисконтованої на попередньому етапі.

Дисконтування за складною обліковою ставкою здійснюють по формулі:

P = S ( 1 - d )n

де d - складна річна облікова ставка.

Наприклад, фінансовий актив на суму 5000000 грн., термін платежу котрого наступає через 5 років, проданий з дисконтом за складною обліковою ставкою 15% річних. чому дорівнює сума дисконту?

P = 5 000 000 ( 1 - 0.15 )5 = 2 218 526.56 .

D = S - P = 2781 473.44

96

Як видно з наведеного вище малюнку - дисконтування за складною обліковою ставкою є більш вигідним для боржника, ніж дисконтування за простою обліковою ставкою.

Для дисконтування за простою обліковою ставкою, дисконтний множник може досягти нуля, в той час як при застосуванні складної облікової ставки ми отримуємо лише асимптотичне наближення до нуля.

Номінальна та ефективна облікова ставки За аналогією до номінальної та ефективної ставки процентів введемо

поняття номінальної та ефективної облікової ставки. Будемо позначати номінальну облікову ставку буквою f.

Нехай дисконтування здійснюється не один, а m раз на рік, тобто кожен раз на величину f/m.

В даному випадку:

де f - номінальна річна облікова ставка.

Ефективна облікова ставка характеризує результат дисконтування за рік. Вона знаходиться з рівності:

звідки

При однакових умовах ефективна облікова ставка є меншою від номінальної.

Наприклад, за даними попереднього прикладу визначимо суму, отриману при поквартальному дисконтуванні за номінальною обліковою ставкою 15%. В даному випадку f=0.15, m=4.

Ефективна облікова ставка складатиме:

97

або 14.177%.

Нарощування за складною обліковою ставкою Ми розглядали приклад нарощування за складною процентною ставкою.

Деколи нарощування досягається за допомогою складної облікової ставки. Виходячи з вище наведених формул отримуємо:

P

S = ( 1 - d )n

Множник нарощування при використанні складної ставки d, очевидно дорівнює ( 1 - d )-n .

Порівняння інтенсивності процесів нарощування та дисконтування за різними видами процентних ставок

Вище для нарощування та дисконтування нами використовувались ставки is , i, j, d s , d, f.

Очевидно, що навіть при однакових вихідних умовах використання різних ставок приводить до різних результатів. Порівняння таких результатів представляє практичний інтерес.

Для того, щоб виявити співвідношення результатів застосування різних процентних ставок достатньо порівняти множники нарощування та дисконтні множники.

Варіант застосування номінальних та ефективних ставок розглядати не будемо, оскільки в даному випадку результат додатково залежить від частоти нарахування процентів.

Множники нарощування будуть співвідноситись наступним чином:

при 0<n<1;

98