Відношення еквівалентності

Відношення Rназивається відношенням еквівалентності, якщо воно має такі властивості:

а) рефлективності: (x, х)  Rпри будь-якомух  Х;

б) симетричності: з (x₁, х₂)  Rвипливає (x₂, х₁)  R;

в) транзитивності: якщо (x₁, х₂)  Rі (x₂, х₃)  R, то (x₁, х₃)  R;

Замість того, щоб писати (x₁, х₂)  R, часто пишутьx₁ ~ x₂абоx₁  x₂(mod R) (читається так:x₁конгруентноx₂за модулемR) чи, простіше, (x₁ ~ x₂абоx₁  x₂, якщо немає необхідності ще раз вказувати, що мова йде про одне й те саме відношенняR).

Приклади: 1)Визначимо на множині цілих чиселZвідношення еквівалентності так, щорq,тоді і тільки тоді, колиp - qділиться без остачі на деяке наперед задане натуральне числоm >1,скажімоm=5. У теорії чисел таке відношення записується у виглядір  q(mod т).

2)НехайХ- множина прямих на площині. Визначимо відношення еквівалентності для прямихx₁і x_2,покладаючиx₁  x₂, коли ці прямі паралельні.

3) НехайХ– множина всіх студентів, які присутні на лекції з дискретної математики. Два студенти еквівалентні, якщо вони народилися в тому самому місяці року.

Для x  Xпозначимо черезK(x) підмножину, що складається з елементів, еквівалентнихx,тобтоK(x) = {y | y  X; y ~ x}. Таку підмножину будемо називати класом еквівалентності. Зрозуміло, що клас еквівалентності є множиною всіх елементів, еквівалентних довільному елементу з цього класу. Справедлива наступна теорема:

Теорема 1. Два класи еквівалентності або не перетинаються або співпадають.

Доведення. Припустимо, що перетин множинK(x) і K(х') непорожній, і візьмемоz  K(x)  K(х').Клас еквівалентностіK(x) утворений з елементів, еквівалентних одному зі своїх елементівx. Оскількиxіzеквівалентні, то за властивістю транзитивності отримуємо, щоK(x) утворений також з елементів, еквівалентнихz.АналогічноK(х') утворений з елементів, еквівалентнихz. Таким чином,K(х) іK(х') співпадають.

Відношення еквівалентності на множині Хпороджує деяке розбиття множини Х, тобто деяку сім’ю непорожніх підмножин множиниX(класів еквівалентності), які попарно не перетинаються, а їх об’єднання рівнеX. Будь-які два елементи з одного класу зв’язані відношенням еквівалентності, тобто еквівалентні; з різних класів - не еквівалентні.

Навпаки, будь-яке розбиття множини X: Х =, деX_j непорожні і попарно не перетинаються, визначає деяке відношення еквівалентності, а самеx  х', якщо існує такий індексj  J, що x,х'  X_j. У цьому випадку підмножиниX_j є класами еквівалентності для цього відношення.

Фактор-множина

Виходячи із сказаного кожен клас еквівалентності X_jє підмножиною множиниX, що складається з елементів, еквівалентних деякому фіксованому елементу цієї множини. Тому можна розглянути і множину всіх класів еквівалентності, яку звичайно називають фактор-множиною за даним відношенням еквівалентностіRі позначають наступним чиномХ/R.Якщо черезK(x) позначити клас еквівалентності елементаx, тоK(x) є елементом фактор-множини таx  K(x).

Можна дати просту інтерпретацію фактор-множини на прикладах відношень еквівалентності, наведених раніше (1, 2, 3, 4, 5):

1)°фактор- множина - це множина Z_m цілих чисел, порівняних за модулемm;

2)°фактор- множина - це множина напрямлених прямих на площині;

3)°фактор- множина - це множина місяців року. Вона може мати менше 12 місяців, бо в аудиторії може не виявитися студентів, які народилися в одному з місяців, скажімо в лютому.