Операції над множинами

Розглянемо дві множини АіВта введемо низку операцій над ними. Для графічної ілюстрації використовують діаграми (кола) Ейлера. Для зображення множини на площині креслять замкнену лінію із заштрихованою внутрішньою областю (найчастіше – це коло, звідси й назва відповідного інструмента, що широко застосовується в теорії множин).

Об’єднання АіВ– множина, що складається з усіх елементів множиниА, всіх елементів множиниВі не містить ніяких інших елементів (рис. 1), тобто

АВ = {x|x Аабоx В}.

Рис. 1

Перетин АіВ– множина, що складається з тих і тільки з тих елементів, які належать одночасно множиніАта множиніВ(рис. 2), тобто

А  В = {x|x  Аіx В}.

Рис. 2

Різниця АіВ(відносне доповнення) – множина, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать множиніАй не належать множиніВ(рис. 3), тобто

А\ В = {x|x Аіx В}.

Рис. 3

Диз’юнктивна сума АіВ(симетрична різниця) – множина, що складається усіх елементівА, які не належать множиніВ, й усіх елементівВ, які не належать множиніА, та яка не містить ніяких інших елементів (рис. 4), тобто

АВ= {x| (xАіxВ) або (x Віx  А)}.

Рис. 4

Доповнення множини.

Звичайно, вже в означенні конкретної множини явно або неявно обмежується сукупність об’єктів, що є допустимими (слони – серед тварин, натуральні числа – серед цілих або дійсних залежно від контексту). Зручно сукупність допустимих об’єктів зафіксувати явно та вважати, що множини, які розглядаються, складаються з елементів цієї сукупності. Її називають основною множиною (універсумом) і позначають U. УніверсумUарифметики – числа, універсумUзоології – тварини і т.д. Будь-яку множину розглядатимемо у зв’язку з універсумом, який на діаграмах Ейлера асоціюватимемо з прямокутником на площині, всередині якого зображатимемо множини (рис. 5).

Рис. 5

Доповнення множини А– це множина, що містить усі елементи універсуму, за винятком елементівА(рис. 6), тобто.

Рис.6

Множина Аназивається підмножиною множиниВ, якщо кожен елементАє елементомВ. Для позначення цього факту вводиться знак- символ строгого включення (або- символ нестрогого включення) (рис. 7). Якщо необхідно підкреслити, що множинаВмістить також інші елементи, крім елементів множиниА, то використовують символ строгого включенняАВ.

Дві множини рівні, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів. Справджується таке: А=Втоді і тільки тоді, колиАВіВА.

Рис. 7

Окремо розглянемо ще одну дуже важливу операцію над множинами.

Декартовим (прямим) добутком множин A і B (записується AB) називається множина всіх пар (a,b), в яких перша компонента належить множині A (aA), а друга - множині B (bB).

Тобто

AB = {(a,b) | aA і bB }

Декартовий добуток природно узагальнюється на випадок довільної скінченної сукупності множин. Якщо A₁, A₂,..., A_n - множини, то їхнім декартовим добутком називається множина

D = { (a₁,a₂,...,a_n) | a₁A₁, a₂A₂,..., a_nA_n },

яка складається з усіх наборів (a₁,a₂,...,a_n), в кожному з яких i-й член, що називається i-ю координатою або i-ю компонентою набору, належить множині A_i, i=1,2,...,n. Декартовий добуток позначається через A₁ A₂... A_n.

Набір (a₁,a₂,...,a_n), щоб відрізнити його від множини, яка складається з елементів a₁,a₂,...,a_n, записують не у фігурних, а в круглих дужках і називають кортежем, вектором або впорядкованим набором. Довжиною кортежу називають кількість його координат. Два кортежі (a₁,a₂,...,a_n) і (b₁,b₂,...,b_n) однакової довжини вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто a_i=b_i, i=1,2,...,n. Отже, набори (a,b,c) і (a,c,b) вважаються різними, в той час як множини {a,b,c} і {a,c,b} - рівні між собою.

Декартовий добуток множини A на себе n разів, тобто множину AA...A називають n-м декартовим (або прямим) степенем множини A і позначають Aⁿ.

Прийнято вважати, що A⁰ =  (n=0) і A¹ = A (n=1).

Наприклад, якщо A = {a,b} і B = {b,c,d}, то

AB = {(a,b),(a,c),(a,d),(b,b),(b,c),(b,d)},

A² = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}.

Якщо R - множина дійсних чисел або множина точок координатної прямої, то R² - це множина пар (a,b), де a,bR, або множина точок координатної площини.

Координатне зображення точок площини вперше було запропоновано французьким математиком і філософом Рене Декартом, тому введена операція над множинами і називається декартовим добутком.

Множину, елементами якої є всі підмножини множини А, називають множиною підмножин множиниА(або булеаном множиниА) і позначаютьР(А). Так, для триелементної множиниА = {a,b,c} маємоP(A)={, {a}, {b}, {c}, {a,b},{b,c}, {a, c}, {a, b, c}}. У разі скінченної множиниАзn елементів, множина підмножинР(А) містить 2ⁿелементів.