Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
konsp_dm.doc
Скачиваний:
61
Добавлен:
12.02.2016
Размер:
1.91 Mб
Скачать

Кільця та поля

Нехай К – непорожня множина, на якій задані дві бінарні алгебраїчні операції + (додавання) і ∙ (множення), які задовольняють наступним умовам:

(K1) (K+) – абелева група;

(К2) (K, ∙) – півгрупа;

(К3) операція множення дистрибутивна відносно операції додавання:

(x + y)z = x z + y z,z (x + y) = z x + z y

для всіх x, y, z  K.

Тоді (K, +, ∙) називається кільцем.

Структура (K+) називається адитивною групою кільця, а (K, ∙) - його мультиплікативною півгрупою.

Якщо (K, ·) – моноїд, то кажуть, що (K+) – кільце з одиницею. Кільце називається комутативним, якщо (K, ∙) – абелева півгрупа (на відміну від груп, комутативне кільце не прийнято називати абелевим). Нейтральний елемент 0 – відносно додавання і 1 – відносно множення (якщо він існує) називають відповідно нулем і одиницею кільця.

Далі наведено приклади кілець:

1) множина (Z, +, ∙) цілих чисел відносно звичайних операцій додавання й множення;

2) множина (Q, +, ∙) раціональних чисел відносно звичайних операцій додавання й множення;

3) множина (R, +, ∙) дійсних чисел відносно звичайних операцій додавання й множення;

4) множина (C, +, ∙) комплексних чисел відносно звичайних операцій додавання й множення;

5) множина дійснозначних матрицьМn(R)розміруnxnвідносно додавання та множення матриць є кільцем з одиницею. Роль нейтрального елемента відносно множення тут відіграє одинична матрицяЕ. Таке кільце називається повним матричним кільцем надR або кільцем квадратних матриць порядкуn надR. Це один з найважливіших прикладів кілець. Оскільки приn> 1, матриці при множенні, як правило не можна переставляти, тоМn(R) – некомутативне кільце.

Підмножина LкільцяКназивається підкільцем, якщо для будь-яких елементівxyL

x+yL ixyL.

Підкільце LкільцяКз одиницею називається ідеалом, коли для будь-яких елементівxLтаaKвиконуєтьсяaxL, xaL.

Нехай К - кільце з одиницею, аLідеал у цьому кільці. Фактор-групуК / Lадитивної групи (K,+) кільця за ідеаломL(який є нормальним дільником в адитивній групі) можна перетворити в кільце, наступним чином задаючи операцію множення суміжних класів:(x+L) (y+L)=xy+L. Це кільце називається фактор-кільцем кільцяКза ідеаломL і позначаєтьсяК / L.

Нижче наведено приклад фактор-кільця, який широко використовується. Множина nZцілих чисел, кратних деякому фіксованому натуральному числуn, є ідеалом в кільці цілих чиселZ. Розглянуту раніше фактор-групуZ / nZ=Zn можна перетворити в кільце задаючи операцію множеннякласів за модулем числаn. Щоб перемножити два класиіпотрібно спочатку перемножити цілі числаrіs, а потім знайти остачу від ділення знайденого добутку на числоn. Клас знайденої остачі й буде результатом множення класіві. МножинаZn разом із заданими на ній операціями додаваннята множенняє комутативним кільцем з одиницею, яке маєn елементів.

Далі наведено таблицю Келі для операції множення кільцяZ5:

Відображення f:К1К2кільця(К1, +, ∙) в кільце(К2, ,)називається гомоморфізмом, якщо воно зберігає всі операції, тобто коли для будь-яких елементівxyК1

f(x+y) =f(x)f(y),

f(xy) =f(x)f(y).

Якщо гомоморфізм кілець є бієктивним відображенням, то він називається ізоморфізмом кілець. Два кільця К1iК2називаються ізоморфними, якщо існує ізоморфізм кільцяК1в кільцеК2; факт ізоморфізму кілець коротко записують у виглядіК1  К2.

Поле Р– це комутативне кільце з одиницею, в якому кожен відмінний від нуля елемент має обернений відносно операції множення. Іншими словами комутативне кільце з одиницеюРє полем, коли сукупність його відмінних від нуля елементів утворює абелеву групу відносно операції множення.

Два поля Р1iР2називаються ізоморфними, якщо вони ізоморфні як кільця.

Поле, яке має скінченне число елементів, називається скінченним полем або полем Галуа.

Теорема. Будь-яке скінченне поле маєрnелементів, дер– просте, аn– натуральне число. Для фіксованих простого числарі натурального числаn існує і, з точністю до ізоморфізму, лише одне поле з числом елементіврn.

Скінченні поля з точністю до ізоморфізму будуються наступним чином.

Скінченне поле з релементів ізоморфне кільцюZp цілих чисел за модулемр.

Скінченне поле з рnелементів отримується таким чином. Розглядаємо кільце многочленів Zp[x]від змінноїхнад полемZp. Беремо в цьому кільці многочленf(x) степеняn, який є нерозкладним надZp. Позначаємо через(f(x))ідеал, який складається з елементів, що діляться наf(x). Тоді фактор-кільцеZp[x]/(f(x))є бажаним полем зрnелементів. Виконання операцій над елементами цього поля здійснюється за двома модулями: за модулем числарі за модулем многочленаf(x).Часто це позначається наступним чином:(mod f(x)p).

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]