Відображення Визначення і приклади

Нехай задано дві множини ХіY. Відображенняfз множиниХв множинуYкожному елементухз множини Х ставить у відповідність деякий (один) елементf(х) з множиниY. Елементf(х) називають образом елементахпри відображенніf. Символічно відображення записується так:f:ХYчи XY. У випадкуY=Хкажуть ще про відображенняfмножиниХв (на) себе.

Якщо Х= {x₁,x₂, …,x_n} – скінченна множина, тo відображенняf:ХY, можна задати записом з двох рядківf = , деf (х_i)  Y,i = 1, 2, …, n.

Наприклад, f : Х → Y,Х = {l, 2, 3, 4, 5},Y = {а, b, c},f = .

Відображення часто ілюструють за допомогою діаграм (рис. 8), де відповідність між елементами показують стрілками. Відображення задане в попередньому прикладі зображене на рис. 8а. Відповідності рис. 8б та рис. 8в відображеннями не будуть, оскільки на рис. 8б елемент 1 Xне має образу в множиніY, а на рис. 8в елементу 3Xставиться у відповідність два елементи з множиниY:bтаc.

Рис. 8

Приклади відображень:

1) f (x) = є відображенням множини відмінних від нуля елементів множини дійсних чиселR\{0} вR.

2) Якщо, Х- множина дійсних функційφ(х), визначених та інтегрованих на інтервалі [a,b],то інтегралє відображенням з множиниХв множину дійсних чиселR.

3) Якщо X- множина кривих скінченної довжини на площині, то можна визначити відображення зХв множинуR₊додатних дійсних чисел, яке кожній кривій ставить у відповідність її довжину.

Деякі часткові випадки

1. Відображення fмножиниХв множинуХ, визначене рівністюf (х) =х, називається тотожним.

2. Якщо Хє підмножиноюY, то відображенняХвY, визначене рівністюf (х) =х, називається канонічною ін’єкцієюХвY.

3. Відображення з прямого добутку множин ХYвX, що ставить у відповідність кожній парі (x,y)ХYелементх Х, називається проекцією на множинуX. Аналогічно визначається проекція на множинуY.

Ін’єктивні, сюр’єктивні та бієктивні відображення

Відображення fмножиниХв множинуYназивають ін’єктивним, чи ін’єкцією, якщо двом різним елементам з множиниХвідповідають два різних елементи з множиниY(рис. 9а та 9в). Іншими словамиf :X→Yін’єктивне, якщо для будь-якихx≠x₁,x,x₁Х,f (x) ≠f (x₁).

Зауважимо, зокрема, що канонічна ін’єкція деякої підмножини в саму множину є ін’єктивним відображенням.

Відображення fназивають сюр’єктивним, чи сюр’єкцією, якщо для кожного елементаyз множиниYіснує принаймні один елементxз множиниXтакий, щоf(x)=y. (рис. 9б та 9в).

Відображення називають бієктивним, чи бієкцією, якщо воно одночасно ін’єктивнeта сюр’єктивнe. Відображенняfє бієктивним, якщо кожен елемент ізYє образом при відображенніfдеякого, і при тому єдиного, елемента зX(рис. 9в). Кажуть, що бієктивне відображення встановлює взаємно однозначну відповідність між множинамиXтаY. Бієкція множини на себе називається також перестановкою чи перетворенням.

Рис. 9

Для скінченних множин ХтаYсюр’єктивнiсть відображенняf :X→Yозначає, що | Х | ≥ | Y |. Наприклад;f : {1, 2, 3, 4} → {y₁,y₂,y₃},f = -сюр’єктивне,af=- не сюр’єктивнe.

Якщо ХіYскінченні, то ін’єктивність відображення означає, що | Х | ≤ | Y |.

Наприклад, нехай Х= {l, 2, 3},Y= {y₁,y₂,y₃,y₄}. Якщоf (1) =y₁,f (2) =y₂,f (3) =y₃, тоf :X→Yін’єктивнe.

При скінченних XтаYбієктивнiсть відображенняf :X→Yозначає, що | X | = | Y |.

Наприклад, X= (1, 2, 3),Y= {y₁,y₂,y₃}, відображенняf =- бієктивне.