Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Информатика. Практикум (2-й семестр).doc
Скачиваний:
42
Добавлен:
10.02.2016
Размер:
1.06 Mб
Скачать

Метод Гаусса (последовательного приближения неизвестных)

Представим СЛАУ в скалярной форме (4.2)

,

где А = ;x = ;b =;

  1. Последовательно исключая неизвестные, приводим матрицу коэффициентов А к треугольному виду,

  1. Находим неизвестные, начиная с xn, xn-1, xn-2, ... , x2, x1.

Итерационные методы решения слау

Итерационные методы особенно эффективны при большом порядке СЛАУ.

Предварительно приведем систему (4.1) к виду

, где ,

, (5.1)

........................

,

Исходя из начального приближения , получают векторы,...,по рекурентной формуле

. (5.2)

Здесь Fk – некоторая функция, зависящая от матрицы коэффициентов А системы (4.2), правой части , номера приближенияk и предыдущих приближений .

Метод имеет 1-й порядок, если Fk не зависит от , а зависит только от.

Метод стационарный, если Fk не зависит от k.

Простейший случай: если Fk - линейная функция, то общий линейный метод 1 – го порядка должен иметь вид

(5.3)

Здесь А – квадратная матрица, - вектор.

Метод Якоби (простой итерации)

К виду (5.3) можно привести, например, выделением диагональных элементов (для i – строки)

, i = 1, 2, ..., n (5.4)

Строим последовательность векторов, начиная с произвольного вектора (,i = 1, 2, ..., n)

, , ... ,,

где ,i = 1, 2, ..., n (5.5)

Метод Гаусса - Зейделя

В этом методе уточненное значение x1 сразу же используется для вычисления x2, а x1 и x2 для вычисления x3 и т.д.

Зададимся начальным приближением неизвестных.

Обычно принимают ,, ... ,.

Начальные приближения подставляют в 1-е уравнение системы (5.1).

,

затем подставляем ,, ... ,во 2-е уравнение

.

Подставляем ,,, ... ,

Подставляем ,, ... ,, выполним 2-ю итерацию.

Приближения с номером k определим по формуле

(5.6)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

,

Т.е. координаты вектора определяют по формуле

, i = 1, 2, ..., n (5.7)

Для сходимости метода необходимо, чтобы

  1. все диагональные элементы были отличны от 0 (aii ≠ 0);

  2. диагональные элементы значительно преобладали над остальными коэффициентами матрицы А.

В общем случае критерий окончания итерационного процесса при заданной допустимой погрешности ε > 0 определяется:

  • по абсолютным отклонениям в виде

, i = 1, 2, ..., n (5.8)

  • по относительным разностям в виде

Пример: решить СЛАУ методом Гаусса – Зейделя при ε = 0,01

Предварительно, приводим СЛАУ к виду (5.1)

2x1+ x2+2x3 =10; 2x1 = -x2-2x3 +10; x1 = -0,5x2 - x3 + 5

x1+4x2+ x3 =12; 4x2 = -x1- x3 +12; x2 = -0,25x1- 0,25x3 + 3

2x1+2x2+3x3 =15; 3x3 = -2x1-2x2+15; x3 = -0,667x1-0,667x2+ 5

Задаем начальные приближения: ,,.

Выполняем 1-ю итерацию

  1. x11 = - 0,5 ּ3 - 1ּ 5 + 5 = -1,5 Δ1 =│5 - (-1,5)│= 6,5

x21 = - 0,25 ּ(-1,5) – 0,25 ּ 5 +3 = 2,125 Δ2 =│3 – 2,13│= 0,87

x31 = - 0,667 ּ(-1,5) – 0,667 ּ2,13 +5 = 4,583 Δ3 =│5 – 4,583│= 0,417

  1. x12 = - 0,5 ּ2,13 - 1ּ 4,583 + 5 = -0,648 Δ1 =│-1,5 - (-0,648)│= 0,85

x22 = -0,25ּ(-0,648) – 0,25ּ4,583 +3 =2,016 Δ2 =│2,125 – 2,016│= 0,11

x32 = - 0,667ּ(-0,648) – 0,667ּ2,016+5 =4,088 Δ3 =│4,583-4,088│= 0,50

  1. x13 = -0,095 Δ1= 0,551 4. x14 = 0,2713 Δ1= 0,37 5. x15 = 0,514 Δ1= 0,243

x23 = 2,002 Δ2 = 0,014 x24 = 2,002 Δ2 = 0,0023 x25 = 2 Δ2 = 0,002

x33 = 3.728 Δ3 = 0,358 x34 = 3,486 Δ3 = 0,242 x35 = 3,324 Δ3 = 0,1621

  1. x16 = 0,676 Δ1=0,16 7 x17 = 0,784 Δ1= 0,11 8. x18 = 0,856 Δ1= 0,07

x26 = 2 Δ2 = 0 x27 = 2 Δ2 = 0 x28 = 2 Δ2 = 0

x36 = 3,216 Δ3 = 0,108 x37 = 3,144 Δ3 = 0,072 x38 = 3,0964 Δ3 = 0,048

9. x19 = 0,903 Δ1= 0,05 10. x110 = 0,936 Δ1= 0,03 11 x111 = 0,957 Δ1= 0,02

x29 = 2 Δ2 = 0 x210 = 2 Δ2 = 0 x211= 2 Δ2 = 0

x39 = 3,064 Δ3 = 0,032 x310 = 3,043 Δ3 = 0,02 x311 = 3,029 Δ3 =0,014

12. x112=0,972 Δ1=0,014 13. x113 = 0,981 Δ1= 0,01 14. x114 = 0,99 Δ1= 0,006

x212 = 2 Δ2 = 0 x213= 2 Δ2 = 0 x214 = 2 Δ2 = 0

x312 =3,019 Δ3 = 0,010 x313= 3,013 Δ3 = 0,006 x314 = 3,006 Δ3 = 0,004

Точное решение x1 = 1, x2, = 2, x3 = 3.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.