- •Задание № 1 Выборка и сортировка таблиц
- •Задание № 2 Интерполирование полиномом Лагранжа
- •Рекомендации по выполнению задания
- •Пример расчета с помощью электронных таблиц ms excel
- •Расчетные формулы, используемые в ячейках
- •Задание № 3 Численное интегрирование
- •Численное интегрирование
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Задание № 4 Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Исходные данные
- •Исходные данные
- •Исходные данные
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •Методы решения слау
- •Точные методы
- •Приближенные (итерационные) методы
- •Метод Гаусса (последовательного приближения неизвестных)
- •Итерационные методы решения слау
- •Метод Якоби (простой итерации)
- •Метод Гаусса - Зейделя
- •Рекомендации по использованию excel для решения слау № 1 и 3 с помощью обратной матрицы
- •Рекомендации по использованию excel для решения слау № 2 с помощью метода прогонки
Численное интегрирование
Геометрическое истолкование определенного интеграла: интеграл численно равен площади, покрываемой ординатами графика f(x), т.е. площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, отрезками прямой x = a, x = b и графиком подынтегральной функции.
,
где F – первообразная.
Если первообразную найти сложно или невозможно, а также, если f(x) задана таблично или графиком, применяется численное интегрирование.
Формула прямоугольников
Промежуток интегрирования [a, b] делим точками x1, x2, ..., xn-1 на n равных частей; длина каждой
h = ( b - a) / n .
Т.е.x0 = a , xn = b, xi = a + i h, i = 0, 1, ..., n-1.
Пустьy 0 = f(x0), y i = f(xi), ... , y n = f(xn).
I ≈ (b - a) f(a) – формула левых прямоугольников
I ≈ (b - a) f(b ) - формула правых прямоугольников.
(3.1)
(3.2)
Выражения (3.1), (3.2) дают площади ступенчатых фигур.
Точность формул увеличивается с увеличением промежутков разбиения n.
Предельная абсолютная погрешность (3.3)
Формула трапеций
Промежуток интегрирования[a, b] делим точками x1, x2, ..., xn-1 на n равных частей; длина каждой (3.4)
Т.е. координаты узловых точек промежутков
x0 = a ,
xi = a + i h, i = 0,1, ..., n - 1 , (3.5)
xn = b
Соответственно, значения подынтегральной функции в этих точках
y 0 = f(x0),
y i = f(xi), ... , i = 0,1, ..., n - 1 , (3.6)
y n = f(xn).
–формула площади прямолинейной трапеций
(3.7)
Выражение (3.7) дает общую площадь трапеций.
Предельная абсолютная погрешность (3.8)
Формула Симпсона (параболических трапеций)
Вершины трех соседних точек соединяются дугой квадратной параболы.
Формула площади параболической трапеций
, где
Промежуток интегрирования [a, b] делим точками x1, x2, ..., x2n-1 на 2n равных частей;
длина каждой (3.9)
Т.е. координаты узловых точек промежутков
x0 = a ,
xi = a + i h, i = 0,1, ..., 2n - 1, (3.10)
x2n = b
Соответственно, значения подынтегральной функции в этих точках
y 0 = f (x0),
y i = f (xi), ... , i = 0,1, ..., 2n - 1 , (3.11)
y 2n = f (x2n).
, (3.12)
где с = .
Формула (3.12) дает точные результаты для полиномов не выше 3-ей степени.
Предельная абсолютная погрешность (3.13)
Рекомендации по выполнению задания
Нахождение численного значения определенного интеграла (метод Симпсона)
В соответствии с номером варианта N выбирается интеграл, метод решения и число n.
Промежуток интегрирования разбивается на n или 2n равных промежутков по формулам (3.4) или (3.9) в зависимости от метода.
Определяются координаты узловых точек промежутков по формулам (3.5) или (3.10) и значения подынтегральной функции в этих точках по формулам (3.6) или (3.11).
Численное значение определенного интеграла вычисляется по формулам (3.7) или (3.12).
График подынтегральной функции строится на основании данных xi и y i.
Нахождение численного значения определенного интеграла методом Симпсона с помощью электронных таблиц EXCEL
|
А |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
i |
1 |
|
|
Численное интегрирование методом Симпсона | ||||||
2 |
|
|
|
|
Подынтегральная функция |
a |
b |
n |
h |
3 |
|
|
|
|
y = π + sin(x2 ) |
0 |
1,57 |
6 |
0,1308 |
4 |
|
i |
xi |
yi |
Численное значение интеграла |
|
|
|
|
5 |
|
0 |
0 |
3,140 |
|
|
|
| |
6 |
|
1 |
0,1308 |
3,157 |
|
|
|
| |
7 |
|
2 |
0,2617 |
3,208 |
|
|
|
| |
8 |
|
3 |
0,3925 |
3,293 |
5,7689 |
|
|
|
|
9 |
|
4 |
0,5233 |
3,410 |
|
|
|
|
|
10 |
|
5 |
0,6542 |
3,555 |
|
|
|
|
|
11 |
|
6 |
0,7850 |
3,718 |
|
|
|
|
|
12 |
|
7 |
0,9158 |
3,884 |
|
|
|
|
|
13 |
|
8 |
1,0467 |
4,029 |
|
|
|
|
|
14 |
|
9 |
1,1775 |
4,123 |
|
|
|
|
|
15 |
|
10 |
1,3083 |
4,130 |
|
|
|
|
|
16 |
|
11 |
1,4392 |
4,017 |
|
|
|
|
|
17 |
|
12 |
1,5700 |
3,766 |
|
|
|
|
|
Пояснения:
В ячейки F3, G3, H3 введены исходные данные a, b и n, в ячейку i3 - значение h , вычисленное по формуле (3.9), т.е. = (G3 – F3) / (2*H3).
В диапазоне С5 : С17 вычислены значения xi по формуле (3.10), т.е. в ячейку С5 введена формула = $F$3 + $i$3 * B5, затем с помощью приема автозаполнения эта формула распространена на остальные ячейки диапазона.
В диапазоне D5 : D17 вычислены значения подынтегральной функции yi по формуле (3.11), т.е. в ячейку D 5 введена формула = Пи( ) + SIN (С5^2), затем эта формула распространена на остальные ячейки диапазона.
В ячейке Е8 записана формула (3.12) определения численного значения определенного интеграла по методу Симпсона
=i3/3*(D5+D17+4*(D6+ D8+D10+D12+D14+D16)+2*(D7+D9+D11+D13+ D15)).
На основании смежного диапазона С5 : D17 построена диаграмма категории «Точечная», на которой представлен график подынтегральной функции y = f(х) .
Примечание: расчет методом трапеций выполняется аналогично, по соответствующим формулам