34

Контрольные вопросы

1 Как записать и сформулировать законы Кирхгофа?

2 Сколько уравнений необходимо составить для электрической цепи, пользуясь методом законов Кирхгофа?

3Сколько уравнений необходимо составить, рассчитывая цепь методом узловых напряжений?

4Как определяется собственная проводимость узла?

5Как определяется взаимная проводимость между двумя узлами цепи?

6Как определяется узловой ток?

7В чем заключается понятие “опорного” узла?

8Какой принцип положен в основу метода суперпозиции и в чем его суть?

9На какой теореме базируется метод эквивалентного генератора?

10Из каких вариантов состоит метод эквивалентного генератора?

11В каких случаях целесообразно применять метод эквивалентного генератора?

12Сколько уравнений необходимо составить для ЛЭЦ, пользуясь методом контурных токов?

13Как определяется собственное сопротивление контура?

14Как определяется взаимное сопротивление контуров?

15Как определяется контурное напряжение?

16Как определить токи в ветвях по методу контурных токов?

3 РЕЖИМ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

3.1 Классификация электрических сигналов

Сигнал – физический носитель сообщения (свет, цвет, звук, температура, электромагнитные колебания). Слово сигнал происходит от латинского „signum” – знак. Электрические сигналы, в дальнейшем просто сигналы, можно описывать (моделировать) с помощью математических выражений, векторных диаграмм, графиков и т.д. Один и тот же сигнал может иметь несколько равноправных моделей: он может быть функцией времени или функцией частоты. Сигнал f (t) функция в конкретных ситуациях подчеркивается его физическая

природа, например: u(t) – сигнал в виде напряжения; i(t) – сигнал в виде тока и

т. д.

Существует много способов классификации сигналов по различным критериям. Например, всю совокупность электрических сигналов можно разделить на две группы:

35

–регулярные (детерминированные) сигналы, мгновенное значение кото-

рых можно определить расчетным путем (к таким можно отнести периодические, непериодические);

–случайные сигналы, мгновенные значения которых можно определить лишь с некоторой вероятностью (речь, музыка, шумы, помехи).

Случайные сигналы являются информационными, хотя регулярные сигналы на практике широко применяются, например, в качестве испытательных сигналов при настройке, измерениях, проверках в аппаратуре телекоммуникаций.

Вдальнейшем мы будем рассматривать регулярные сигналы.

Регулярные сигналы можно классифицировать: 1. По форме изменения сигнала:

–аналоговые, функция которых непрерывно изменяется во времени, их еще называют континуальными [6] (рис. 3.1, а и б);

–дискретные, функция которых в определенные моменты времени изменяется скачком. При этом на интервалах времени между скачками значения сигналов постоянны (рис. 3.1, в).

Рисунок 3.1 – Функции сигналов:

а– произвольные по величине и по времени;

б– непроизвольные по величине и непрерывные по времени;

в– произвольные по величине и дискретные по времени

Аналоговые сигналы могут быть:

–периодические, значения которых повторяются через интервалы времени, кратные периоду Т f(t + kt) (рис. 3.2, а и б);

–непериодические, неудовлетворяющие условию (рис. 3.2, в и г).

Рисунок 3.2 – Сигналы периодические (а, б) и непериодические (в, г)

На рис. 3.3 приведены функции некоторых, часто встречающихся аналоговых сигналов.

36

Рисунок 3.3 – Простейшие импульсные сигналы:

а– убывающая экспонента; б – ступенчатая функция;

в– дельта-сигнал; д – косинус-импульс; г – синус-импульс

На рис. 3.3, а изображена функция убывающей экспоненты. Аналитически это можно записать так:

0, t ≤ 0; f (t) = 1e−αt , t > 0,

где е – основание натурального логарифма; α – вещественное число.

Если коэффициент α будет стремиться к 0, то функция превращается в функцию 1(t), которая представляет собой „ступеньку” (единичная ступенчатая функция) (рис. 3.3, б). Эта функция еще называется функцией Хэвисайда. Ее можно представить аналитически:

0, t ≤ 0; f (t) =

1, t > 0.

Еще более „неклассическая” с точки зрения математики функция вида рис. 3.3, в. Она носит название дельта-функции Дирака δ(t). Аналитически ее можна представить как

0, t ≠ 0;

δ(t) =

∞, t = 0.

Свойства этой функции имеют очень большое значение для практики. На-

времени дельта-импульс.

На рис. 3.3 изображены функции гармонических импульсов косинусоиды (г) и синусоиды (д). Свойства приведенных сигналов будут рассматриваться в дальнейшем.

3.2 Гармонические колебания. Основные понятия и определения

Наряду с источниками постоянных воздействий (токов и напряжений) в электрических цепях могут действовать источники, у которых токи и напряже-

37

ния изменяются во времени, например периодически. Для периодического колебания справедливо равенство

i(t) = i(t + kT),

где T – период колебания, т. е. наименьший промежуток времени, в течение которого функция проходит все свои значения и после которого значения функции i(t) повторяются.

Наиболее распространенным видом периодического колебания в электрических цепях является гармоническое. Мгновенное значение гармонического тока можно описать функцией синуса или косинуса:

i(t) =Im sin (ωt + φi )=Im sin ψi (t), (3.1)

где Im – амплитуда, максимальное абсолютное значение синусоидального колебания;

φi – начальная фаза колебания (радианы или градусы); ψi(t) = ωt + φi – текущая фаза колебания;

ω = dψi /dt – угловая частота, представляющая собой скорость изменения аргумента (рад/с).

Период Т и угловая частота ω связаны соотношением

Т = 2π/ω.

Число периодов в единицу времени называют циклической частотой –

f = 1/T. Единицей измерения частоты является герц (Гц). В Европейских стра-

В телекоммуникационных технологиях используют гармонические колебания от единиц герц до сотен гигагерц.

Кроме величины амплитуды Im тока, в гармоническом колебании различают действующее значение I и среднее Iср. Действующее значение гармонического тока i(t) (его называют еще среднеквадратичным) определяется по фор-

При токе

Аналогично определяется действующее значение гармонического напряжения:

Um ≈ 0,707Um .

Возведя (3.3) в квадрат и умножив обе части полученного выражения на RT, определим тепловую энергию, которая выделяется гармоническим колебанием i(t) за период Т в резистивном элементе с сопротивлением R:

Отсюда следует, что действующее значение гармонического тока равно по величине такому постоянному току, который, протекая через сопротивление R за время, равное Т, выделяет то же количество тепла, что и гармонический ток.

Естественно, что среднее значение гармонического тока (напряжения) за период

равно нулю, так как площадь положительной полуволны компенсируется площадью отрицательной полуволны гармонической функции (см. рис. 3.4). В связи с этим используется понятие среднего полупериодного значения:

Аналогично среднее значение гармонического напряжения:

Uср ≈ 0,637Um .

3.3 Спектральное (частотное) представление гармонических колебаний

Гармонический ток i(t) представлен временнόй диаграммой рис. 3.4. Временное представление гармонических колебаний наглядно, но при решении задач анализа цепей оно требует громоздких тригонометрических преобразований. В дальнейшем будут рассмотрены и другие способы представления гармонических колебаний, выбор которых зависит от характера поставленной задачи.

Гармоническое колебание i(t) (см. рис. 3.4) полностью характеризуется следующими основными параметрами: амплитудой Im, угловой частотой ω и

39

начальной фазой ϕi . Эти параметры используются при спектральном представ-

лении гармонических колебаний в виде амплитудного и фазового спектра. Амплитудный и фазовый спектры отображаются с помощью отрезков линий, соответствующих значениям амплитуд и начальных фаз в прямоугольной системе координат.

На рис. 3.5 представлен амплитудный (а) и фазовый (б) спектры гармони-

ные на нем.

3.4 Гармонические колебания в пассивных элементах Резистивный элемент

Если к резистивному элементу с сопротивлением R приложено гармониче-

где амплитуда тока

Im = URm ;

начальная фаза

ϕi = ϕu = ϕ.

Следовательно, напряжения на зажимах резистора и ток, протекающий по нему, совпадают по фазе: ϕi − ϕu = 0 .

Мгновенная мощность, выделяемая в резистивном элементе,

p = ui = UmIm cos2(ωt + ϕ) = UI[1+cos2(ωt+ϕ)] = U I + U I cos2(ωt + ϕ). (3.12)

Из (3.12) следует, что мгновенная мощность, выделяемая в резисторе, имеет две составляющие: