60
4.7 Баланс мощностей
Пусть ко входу некоторой пассивной электрической цепи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 4.12) подключен источник |
|||||||||||||
Рисунок 4.12 – Цепь под воздействием |
гармонического напряжения |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
источника |
|
|
|
|
|
|
u = Um cos (ωt+ϕu). |
|
||||||||||||||||
|
|
Под воздействием этого источника в цепи протекает ток |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = Imcos (ωt + ϕi). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Отдаваемая источником в цепь за период Т средняя мощность |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
P |
= |
1 |
T ui dt = |
1 |
T U |
|
I |
|
cos(ωt + ϕ |
|
)cos(ωt + ϕ |
)dt = |
|
1 |
T U |
|
|
I |
1 cos(ϕ |
|
+ ϕ |
)dt + |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
ср |
T ∫0 |
T ∫0 |
m |
|
m |
|
|
u |
|
|
i |
|
|
T ∫0 |
m |
|
m 2 |
|
u |
i |
|
||||||
|
1 T |
1 |
|
|
|
|
|
|
Um Im |
|
|
|
1 T |
|
Um Im |
|
|
|
|
||||||||||
+ |
|
∫0Um Im 2 cos(2ωt + ϕu + ϕi )dt = |
|
|
|
cos(ϕu − ϕi ) |
|
|
∫0 dt = |
|
|
|
cosϕ =U I cosϕ, |
||||||||||||||||
T |
|
|
2 |
T |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
где ϕ = ϕu – ϕi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Pср = U I cos ϕ = zI I cos ϕ = I2·z·cos ϕ. |
|
|
|
(4.22) |
|||||||||||||||||
Среднюю мощность за период чаще называют потребляемой. Она зависит от среднеквадратичных значений тока I и напряжения U и косинуса угла между ними. Если учесть, что Z = R + jX = z cosφ + jz sinϕ, то
z= cosRϕ
иуравнение (4.22) можно представить следующим образом:
Рср = Р = I2R = U2G. |
(4.23) |
Следовательно, средняя за период мощность Р равна мощности, рассеиваемой на резистивном элементе (проводимости). Отсюда еще одно название средней мощности – активная мощность. Измеряется активная мощность в ваттах (Вт). Наряду с активной мощностью Р в цепях гармонического тока использу-
ется понятие реактивной мощности.
|
Q= UI sin ϕ = I2X = U2B |
(4.24) |
|
и комплексной мощности |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
= P + jQ=U& I, |
(4.25) |
|
|
S |
||
* |
|
* |
= I e− jϕ. |
где I |
– сопряженный комплекс тока: если I&= I e jϕ, то I |
||
Модуль комплексной мощности называется полной мощностью |
|||
|
S = P2 +Q2 . |
(4.26) |
|
61
Единица измерения реактивной мощности – вольт-ампер реактивный (ВАр); полной – вольт-ампер (В А). Используя известные соотношения мощности P, Q, S можно представить и в форме
~ |
=UI cos ϕ + jUI sin ϕ. |
(4.27) |
S |
Следовательно,
P = Re[U& |
|
~ |
Q = Im[U& |
|
~ |
(4.28) |
||||
I ] = Re[S ]; |
I ] = Im[S ]; |
|||||||||
|
|
S =UI = |
|
|
~ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
||
|
|
cosϕ = |
|
|
P . |
|
|
(4.29) |
||
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
||
Косинус ϕ в энергетике называют коэффициентом мощности. Чем больше cosϕ, тем меньше потери энергии. Максимальное значение cosϕ = 1 при P = S, Q = 0 (т. е. цепь имеет чисто активный характер).
Рассмотрим условие баланса мощности в цепях при гармоническом воздействии. Для этого запишем теорему о мощности (Теллегена) в комплексной форме (так как законы Кирхгофа справедливы для комплексных действующих
значений токов I& и напряжений U& ):
n |
|
∑в U&k I&k =0. |
(4.30) |
k=1 |
|
|
* |
Так как закон Кирхгофа справедлив и по отношению к сопряженным токам I k , то уравнение (4.30) можно представить таким образом:
nв |
* |
nв |
~ |
(4.31) |
∑U&k I k = ∑Sk = 0, |
||||
k=1 |
|
k=1 |
|
|
откуда следует, что сумма комплексных мощностей, потребляемых всеми ветвями цепи, равна нулю. Это уравнение отражает баланс комплексной мощности. Можно использовать и другую формулировку баланса мощности: сумма комплексных мощностей, отдаваемых источниками, равна сумме комплексных мощностей, потребляемых остальными ветвями электрической цепи:
nв |
~ |
nв |
~ |
(4.32) |
∑Sk ист =∑Sk пот. |
||||
k=1 |
|
k=1 |
|
|
Из (4.32) получаем условия баланса активных и реактивных мощностей:
n |
n |
|
∑в |
Pk ист =∑в Pk пот; |
(4.33) |
k=1 |
k=1 |
|
n |
n |
|
∑в Qk ист =∑в Qk пот; |
(4.34) |
|
k=1 |
k=1 |
|
62
4.8 Режимы работы источников и условия передачи максимальной мощности
Активная двухполюсная электрическая цепь, способная генерировать гармонические колебания, является источником гармонических колебаний. Согласно теореме об эквивалентном генераторе, существуют две схемы замещения источника гармонических колебаний (рис. 4.13).
Z0
+ |
|
I&0 |
Z0 |
U&0 |
|
|
|
a) |
U&0 = Z0 I&0 |
|
б) |
Рисунок 4.11 – Источники: а – напряжения; б – тока
Задающее напряжение источника U&0 (рис. 4.13, а) равно комплексному напряжению на его разомкнутых зажимах. Задающий ток I&0 (рис. 4.13, б) равен комплексному току через коротко замкнутые зажимы. Комплексное сопротивление
.
двухполюсника – Z0 = U. 0 = R0 + jX 0 называют внутренним сопротивлением
I 0
источника. Подключим к источнику в качестве нагрузки некоторый двухполюсник с сопротивлением
Zн = Rн + jX н
и получим условие выделения в ней максимальной мощности. Согласно закону Ома комплексный ток в цепи (см. рис. 4.14)
I& = |
|
U&0 |
|
= |
|
|
U&0 |
|
|
|
|
. |
|
Z |
0 |
+ Z |
н |
R |
+ R |
+ j(X |
0 |
+ X |
н |
) |
|||
|
|
|
0 |
н |
|
|
|
|
|||||
При этом активная мощность в нагрузке
|
I& |
Z0 = R0 + jX 0 |
|
|
|
|
U& |
+ |
Z |
н |
= R |
+ jX |
н |
0 |
|
н |
|
|||
Рисунок 4.14 – Нагруженный источник напряжения
P = I 2 R |
|
|
U 2 R |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
0 н |
|
|
|
|
. |
|
(R |
+ R )2 |
+ (X |
|
+ X |
|
)2 |
|||
н |
|
0 |
н |
|
|||||
|
0 |
н |
|
|
|
|
|||
Совершенно очевидно, что выделяемая в нагрузке мощность будет максимальна, когда
X0 + Xн = 0, т. е. если Xн= – Х0 , (4.35)
тогда
|
U 2R |
|
P = |
0 н |
|
|
. |
|
(R0 + Rн )2 |
||
63
На рис. 4.15 приведен график функции Р(Rн) (сплошная линия). Максимальное значение функция Р(Rн) принимает при
P η
Pmax
1
η
Rн = R0. |
(4.36) |
0,5 |
|
|
|
|
|
Таким образом, выделе- |
|
|
|
|
|
Rн /R0 |
|
ние максимальной |
мощ- |
|
|
|
|
|
|
ности в нагрузке в режи- |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
ме гармонических |
коле- |
Рисунок 4.15 |
– Зависимости активной мощности |
||||
баний возможно, |
если |
|
Р и к. п. д. η от нагрузки |
||||
сопротивление нагрузки |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
сопряжено с внутренним сопротивлением генератора:
Zн = R0 – jX0.
В этом случае говорят, что источник нагружен на сопряженную нагрузку. При этом максимально возможное значение средней мощности в нагрузке будет
|
|
|
U 2 |
|
|
P |
max |
= |
0 |
. |
(4.37) |
|
|||||
|
|
4R |
|
||
|
|
|
0 |
|
|
Коэффициент полезного действия источника η при сопряженной нагрузке составляет только 50 % (так как на внутреннем сопротивлении генератора выделяется та же средняя мощность, что и в нагрузке).
С увеличением Rн средняя мощность в нагрузке падает, но к. п. д. растет. График зависимости к. п. д. источника от Rн/R0 показан на рис. 4.15 штриховой линией.
Из условия (4.35) следует, что обеспечить режим максимальной мощности можно только на одной частоте или в узком диапазоне частот.
В системах передачи информации обычно сопротивление нагрузки выбирают равным внутреннему сопротивлению генератора:
Zн = Z0 = R0 + jX0 . |
|
|
(4.38) |
|
В этом случае принято го- |
|
Z0 |
. |
. |
|
|
|||
ворить, что источник нагружен |
+ |
|
U н =U 0 / 2 |
|
|
|
|
||
согласованно. На рис. 4.16 при- |
|
|
|
|
ведена схема источника, нагру- |
U0 |
|
Z0=Zн |
|
женного согласованно. |
|
|
|
|
При согласованной нагрузке |
Рисунок 4.16 – Согласованное включение |
|||
независимо от частоты напряже- |
||||
ние на ее зажимах всегда равно |
|
нагрузки |
|
|
|
|
|
|
|
половине задающего напряжения источника. В дальнейшем будет доказано, что это позволяет избежать искажения передаваемого по такой цепи сигнала.