Уравнения Кирхгофа

Решение

I1

5A

Запишем уравнение по первому за-

I2

кону Кирхгофа для данного узла:

8A

I1 − I2 − I3 + I4 − I5 = 0 ,

I3

откуда

I5

11A

I5 = I1 − I2 − I3 + I4 =

I4

=5 −8 −11 + 3 = −11A.

3A

Уравнения Кирхгофа

Задача

2 Дана электрическая цепь

R1

R2

(рис. 2.1): R1

= 10 Ом, R2

= 20 Ом, Е = 15 В,

E

+

u1

J = 1 A.

u2

uj

J

Определить uj.

I

90

R1 I1

I2

R2

Задача 3 Определить токи в ветвях

E1 + u1

I3

E2

методом уравнений Кирхгофа для цепи

R3

u2

рис. 3.1.

u3

Дано: R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом,

К1

К2

+

R3 = 30 Ом, Е1 =20 В, Е2 =10 В.

Для данной схемы можно записать

Рисунок 3.1 – Исследуемая цепь

одно независимое уравнение по первому

Узел: I1 − I 2 − I3

= 0;

К1

U 1 + U 3 − E1 = 0;

К2

U 2 − E2 −U 3 = 0.

Выразим напряжения U1, U2, U3 через токи и сопротивления:

I1 − I2 − I3 = 0;

I1 R1 + 0 + I3 R3 = E1;

0 + I2 R2 − I3 R3 = E2.

Теперь токи I1, I2, I3 можно определить с помощью определителей:

I1 = ∆1 ; I2

= ∆2 ; I3

=

∆3

,

где

∆

∆

∆

−1

−1

−1

−1

1

1

∆ =

R1

0

R3

=

10

0

30

= −600 −[10 (30 + 20)] = −1100;

0

R2

− R3

0

20

− 30

0

−1

−1

= −E1[R3 − R2 ]+ E2 [− R3 ]= −20 (50) +10 (−30) = −1000 −300 = −1300;

∆1 =

E1

0

R3

E2

R2

− R3

1

0

−1

= −E1[− R3 ]− E2 [R3 + R1 ]= 20(−30) −10(40) = −600 − 400 = −1000;

∆2 =

R1

E1

R3

0

E2

− R3

1

−1

0

∆3 =

R1

0

E1

=−E1 R2 +E2 R1 =−20 20+10 10=−400+100=−300;

0

R2

E2

92

I1

R1

Преобразованная схема приобретает вид

рис. 4.3.

+

Схема рис. 4.3 содержит последователь-

U1

ное соединение источника напряжения и двух

E

R234

U234

сопротивлений. Ток в цепи и напряжения на

элементах определим по закону Ома:

I

=

E

=

6

= 0,3A;

Рисунок 4.3 – Эквивалентное

1

R1

+ R234

5

+15

преобразование цепи 4.2

U1 = I1 R1 = 0,3 5 =1,5B;

Определим токи I2 и I3 (см. выше)

U2 = I1 R234 = 0,3 15 = 4,5B.

I2

= 0,3

30

= 0,15A;

30 +30

I

= 0,3

30

= 0,15A.

3

30 +30

Метод наложения

I1

R1

1 I

R3

2 I

Задача 5 Методом наложения

определить токи ветвей цепи, схема

I2

3

4

J

которой изображена на рис. 5.1. Па-

E

R2

R4

раметры элементов следующие:

Е = 6 В; I = 0,6 A; R1 = R2 = 20 Ом;

R3 = R4 = 10 Ом.

Решение

1 Зададимся условно положи-

R

R3

тельными направлениями токов, как

′

I3′

I4

показано на рис. 5.1.

I1

1

I2′

2 Положим задающий ток ис-

E

R2

ХХ

R4

точника тока равным нулю (J = 0).

При этом источник тока заменим хо-

лостым ходом. Получим первую ча-

Рисунок 5.2 – Цепь с одним

стную схему с одним источником

энергии (рис. 5.2).

источником напряжения

Для определения частных токов

I1′− I3′ воспользуемся результатами предыдущей задачи:

R34 = R3 +R4 =10 +10 = 20 Ом;

R

=

R2 R34

=

20 20

=10 Ом;

234

R2 + R34

20 + 20

I1′ =

R1

E

=

6

10

= 0,2A;

+ R234

20 +

I2′ = I1′ R

R34

20

+ R

= 0,2 20 + 20 = 0,1A;

2

34

I3′ = I1′ R

R2

20

+ R

= 0,2 20 + 20 = 0,1A.

2

34

3 Положим задающее напряжение ис-

R1

I′′

R3

I′′ 2

′′

точника напряжения равным нулю (Е = 0).

1 1

3

I4

При этом источник напряжения заменим

I2′′

коротким замыканием. Получим вторую

J

R4

частную схему с одним источником энер-

КЗ

R2

гии (рис. 5.3).

Преобразуем схему рис. 5.3. Заменим

параллельно-последовательное

соединение

0

сопротивлений R1, R2, R3 эквивалентным

Рисунок5.3 – Цепьсодним

сопротивлением R123:

источникомтока

R123 = R1 R2

+ R3

= 20 20

+10 = 20 Ом.

I 3′′

1

I 4′′

R1 + R2

20 + 20

Используя формулу „чужого” сопро-

R123

J

R4

тивления, определим токи:

I3′′ = I

R4

= 0,6

10

= 0,2 A;

R13 + R4

20 +10

0

R13

20

I4′′ = I

= 0,6

= 0,4 A;

Рисунок 5.4 – Эквивалентное

R13 + R4

20 +10

преобразование цепи рис. 5.3