16.12. Расчёт переходного процесса в разветвлённой цепи

Пусть заданна расчётная схема (рис.16.20) и известны все параметры и э.д.с. Необходимо найти токи в ветвях и напряжения на всех элементах во время пере­ходного процесса.

Каждая электрическая величина в переходном процессе будет иметь принуждённую и свободную составляющую, из-за чего расчёт переходного процесса в разветвлённой цепи сводится к определению принуждённых и свободных со­ставляющих токов и напряжений, а также постоянных интегрирования:

а) определение свободных составляющих токов и напряжений.

Для послекоммутационной схемы составляем уравнения по законам Кирх­гофа:

(16.92)

В этих уравнениях i₁, i₂ и i₃ – полные токи.

Перепишем систему уравнений для свободных составляющих токов:

(16.93)

Свободный ток можно определить путём решения однородного дифференци­ального уравнения, которое записывается в виде показательной функции . Та­ким образом, каждый свободный ток может быть представлен в виде:

.

(16.94)

Постоянная интегрирования А для каждого свободного тока разная, а показа­тели затухания p одинаковые для всех свободных токов, так как вся цепь охвачена единым переходным процессом.

Возьмём производную от свободного тока:

.

(16.95)

Найдём интеграл от свободного тока:

.

(16.96)

Перепишем систему уравнений (16.93) с учётом (16.95) и (16.96):

(16.97)

Полученная система уравнений представляет собой систему алгебраических уравнений относительно i_1св, i_2св, i_3св и не содержит производных и интегралов.

Решим систему уравнений (16.97) методом определи­телей:

;

;

;

(16.98)

Находим определитель системы:

;

Находим дополнения определителя:

;
;
.

Таким образом, Δ₁ = 0, Δ₂ = 0, Δ₃ = 0, т.к.

;

;

.

Каждый из свободных токов не может быть равен нулю, поскольку в этом случае не будут выполняться законы коммутации. А это может быть только тогда, когда определитель системы Δ равен нулю, т.е.

Δ = 0.

Уравнение Δ = 0 называют характеристическим. Единственным неизвестным в нём есть корень p.

В данном примере получим:

или

.

(16.99)

Корни квадратного уравнения

.

(16.100)

Найдя корни характеристического уравнения системы, можно записать об­щие выражения для каждого из свободных токов.

Возможны несколько случаев:

1) уравнение имеет один корень, тогда

;

(16.101)

2) уравнение имеет два действительных неравных корня, тогда

;

(16.102)

3) уравнение имеет два действительных равных корня, тогда

;

(16.103)

4) уравнение имеет два комплексно-сопряжённых корня, тогда

;

(16.104)

б)нахождение принуждённых составляющих токов и на­пряжений выполня­ется известными методами;

в) нахождение общего решения для токов и на­пряжений как суммы принуждённых и свободных составляющих

i = iпр + iсв; u = uпр + uсв;

г) нахождение постоянных интегрирования выполняется с учётом начальных условий, которые делятся на неза­висимые и зависимые начальные условия.