16.4. Подключение катушки к источнику постоянной э.Д.С.

Исследуем переходный процесс в цепи, расчётная схема которой показана на рис.16.4.

В послекоммутационный период в соответствии со вторым законом Кирх­гофа можем записать:

,

(16.14)

или

,

(16.15)

где

.

(16.16)

Уравнение (16.15) представляет собой обычное линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:

,

(16.17)

откуда находим корень:

.

(16.18)

Переходный ток равен сумме принуждённого и свободного токов:

.

(16.19)

Поскольку характеристическое уравнение имеет один корень, то свободный ток можно выразить так:

,

(16.20)

где А – постоянная интегрирования.

Принуждённый ток после коммутации

,

(16.21)

поэтому

.

(16.22)

Постоянную интегрирования А найдём из начальных условий: согласно пер­вому закону коммутации на участке цепи с индуктивностью ток не может изме­няться скачком, поэтому в момент коммутации при t = 0, i(0) = 0 уравнение (16.22) запишется так:

,

(16.23)

отсюда

,

(16.24)

т.е.

.

(16.25)

Подставляем значение постоянной интегрирования в уравнение (16.22) и по­лучаем:

.

(16.26)

Покажем это на графике (рис.16.5).

В уравнении переходного процесса величина τ называется постоянной вре­мени цепи. Она характеризует скорость переходного процесса:

.

После нахождения тока легко найти напряжения на активном сопротивлении и индуктивности:

;

(16.27)

.

(16.28)

Из уравнения (16.28) видно, что напряжение на индуктивности изменяется скачком от нуля до значения э.д.с. источника. Э.д.с. самоиндукции противодейст­вует возрастанию тока.

Из уравнения (16.27) видно, что напряжение на активном сопротивлении возрастает плавно от нуля до значения э.д.с. источника в принуждённом режиме. Энергия, которую получает цепь, частично идёт на создание энергии магнитного поля, а частично преобразуется в теплоту на активном сопротивлении.

За время переходного периода в магнитном поле катушки накопится энергия

.

(16.29)

16.5. Короткое замыкание катушки

Пусть в цепи, расчётная схема которой приведена на рис.16.6, ключ был в положении 1 и источник был подключён достаточно долго, т.е. наступил устано­вившийся режим. Если в некоторый момент времени (t = 0) ключ мгновенно (без разрыва цепи катушки) переключить в положение 2, то будет иметь место корот­кое замыкание катушки.

Найдём закон изменения тока в цепи. Для послекоммутационной схемы по второму закону Кирхгофа можем записать:

,

(16.30)

или

.

(16.31)

Уравнение (16.31) представляет собой однородное дифференциальное урав­нение, решение которого даёт свободный ток. Таким образом, в данном случае переходный ток не будет содержать принуждённой составляющей, т.е. i = i_пр + i_св = i_св, поскольку i_пр = 0.

После решения уравнения получим:

;

;

.

(16.32)

Найдём постоянную интегрирования из начальных условий: согласно пер­вому закону коммутации на участке цепи с индуктивностью ток не может изме­няться скачком, поэтому в момент коммутации при t = 0 i(0) = и уравнение (16.32) запишется так:

.

(16.33)

Окончательно получим:

,

(16.34)

где

.

(16.35)

Покажем переходный ток на графике (рис.16.7).

После определения тока легко найти напряжение на активном сопротивлении и индуктивности:

;	(16.36)
.	(16.37)

Из уравнения (16.37) видно, что напряжение на индуктивности и э.д.с. само­индукции в момент коммутации изменяются скачком. Э.д.с. поддерживает проте­кание тока в цепи в первоначальном направлении.

Начальный запас энергии магнитного поля катушки

.

(16.38)

Энергия, которая выделяется в активном сопротивлении за время переход­ного процесса

.

(16.39)

Таким образом, W_L = W_r, т.е. вся энергия магнитного поля выделяется в ак­тивном сопротивлении r в виде теплоты.