16.9. Разрядка конденсатора на катушку

Пусть теперь заряженный до значения Е конденсатор в момент времени t = 0 подключается к зажимам катушки (рис.16.15).

Под действием напряжения на конденсаторе в цепи возникает ток, диффе­ренциальное уравнение которого совпадает с уравнением (16.58). В зависимости от корней характеристического уравнения возможен апериодический или колеба­тельный разряд конденсатора.

Колебательный процесс при разрядке конденсатора на катушку характеризу­ется периодом собственных колебаний:

.

(16.72)

Если потери энергии в контуре отсутствуют (r = 0, α = 0), то колебания не за­тухают. При этом

.

(16.73)

Таким образом, LC-контур, в котором каким-либо способом компенсируются потери энергии, может служить генератором незатухающих гармоничных колеба­ний.

16.10. Включение катушки при синусоидальном напряжении

Пусть катушка подключается к источнику гармонической э.д.с. (рис.16.16):

.

(16.74)

Для этой цепи в послекоммутационный период справедливо уравнение:

или

,

(16.75)

где

.

Решение уравнения (16.75) можно записать в виде суммы свободной и при­нуждённой составляющих:

.

(16.76)

Принуждённый (установившийся) ток в цепи

,

(16.77)

где

;

;

.

(16.78)

Свободная составляющая тока .

Для переходного тока

.

(16.79)

Находим постоянную интегрирования из начальных условий: t = 0 i(0) = 0, поэтому

.

(16.80)

Окончательно получим (рис.16.17):

.

(16.81)

Максимально возможного значения ток достигает, если в момент включения катушки принуждённый ток будет иметь свое амплитудное значение , а постоянная времени цепи будет очень большой (r ≈ 0,  → ∞ и φ = ), т.е. свобод­ный ток будет затухать очень медленно.

При этих условиях и приложенное напряжение будет проходить через нуль. В этом случае амплитуда переходного тока может достичь удвоенного зна­чения амплитуды принуждённого (установившегося) тока.

16.11. Включение последовательно соединённых резистора и конденсатора при синусоидальном напряжении

Пусть последовательно соединённые резистор и конденсатор подключаются к источнику синусоидальной э.д.с. (рис.16.18):

.

(16.74)

Для этой цепи справедливо уравнение:

.

(16.82)

Ток в цепи

.

(16.83)

Тогда

(16.84)

или

,

(16.85)

где τ = rC – постоянная времени цепи, с.

Переходное напряжение на ёмкости

(16.86)

Принуждённое (установившееся) напряжение на ёмкости

,

(16.87)

поскольку

,

(16.88)

где

;

.

Свободная составляющая напряжения на ёмкости

.

Для переходного напряжения на ёмкости получим:

,

(16.89)

Находим постоянную интегрирования из начальных условий: t = 0 u_C(0) = 0, поэтому

.

(16.90)

Окончательно получим переходное напряжение на ёмкости (рис.16.19):

.

(16.91)

Максимально возможного значения напряжение на ёмкости достигает, если в момент включения цепи принуждённая составляющая напряжения будет иметь свое амплитудное значение. Это будет иметь место при условии, когда . Кроме того, будем считать, что постоянная времени цепи имеет очень большое значе­ние. В этом случае максимальное значение переходного напряжения на ёмкости может достигать удвоенного значения амплитуды принуждённой составляющей переходного напряжения.