16.3. Классический метод расчёта

Рассмотрим последовательную цепь, содержащую активное сопротивление, индуктивность и ёмкость, подключённую к источнику напряжения, которое из­меняется во времени по произвольному непрерывному закону, заданному каким-либо аналитическим выражением (рис.16.3).

Для любого момента времени по второму закону Кирхгофа можем записать:

u = ur + ul + uС.,
,	(16.9)

где i – ток переходного режима,

который дальше будем называть переходным то­ком или просто током, А.

Переходным режимомбудем называтьсостояние цепи, которое будет на­блюдаться в ней на протяжении некоторого (теоретически бесконечно большого) времени после коммутации.

Когда наступает принуждённый режим, уравнение (16.9) принимает вид:

,

(16.10)

где i_пр – ток принуждённого режима или просто принуждённый ток, А.

Принуждённым режимомбудем называтьсостояние цепи, когда с переход­ным режимом можно не считаться. Принуждённый режим, который создаётся свободной составляющей периодического напряжения, иногда называютустано­вившимся режимом.

Отнимая почленно уравнения (16.9) и (16.10) и зная, что

,

(16.11)

получим

,

(16.12)

или

.

(16.13)

Разность токов и напряжений переходного и принуждённого режимов назы­вается соответственно током и напряжением свободного режима или просто сво­бодными током и напряжением.

Согласно уравнению (16.11) процесс, который проходит в цепи, можно рас­сматривать как такой, который состоит из наложенных один на другой процессов – принуждённого, который наступил как бы сразу, и свободного, который имеет место только на протяжении переходного режима.

Конечно, физически существует только переходный ток или напряжение, а разложение их на принуждённую и свободную составляющие – это всего лишь удобный способ, который облегчает расчёты переходных процессов в линейных цепях.

Разложение переходных токов и напряжений соответствует правилу решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений, согласно которому об­щее решение таких уравнений равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Действительно, уравнение (16.12) показывает, что свободный ток представ­ляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения и должно иметь постоянные интегрирования, количество которых равно порядку диффе­ренциального уравнения. В свою очередь уравнение (16.10) показывает, что при­нуждённый ток представляет собой соответствующее частное решение неодно­родного дифференциального уравнения.

Классический метод исследования переходных процессов сводится к интег­рированию дифференциальных уравнений, которые связывают напряжения и токи цепи в переходном процессе. В результате интегрирования появляются постоян­ные, которые находятся из начальных условий.

Независимые начальные условия исходят из законов коммутации, зависимые – из независимых начальных условий и значений э.д.с. с помощью первого и второго законов Кирхгофа.