16.8. Переходный процесс в цепи с последовательно соединёнными катушкой и конденсатором

Рассмотрим случай включения последовательно соединённых катушки и конденсатора при постоянном напряжении источника питания (рис.16.12).

Для послекоммутационной схемы справедливо уравнение:

или

.

(16.57)

Если продифференцировать обе части уравнения (16.57), то получим диффе­ренциальное уравнение второго порядка:

,

(16.58)

где

;

.

(16.59)

Уравнение (16.58) однородное, а это значит, что ток в данной цепи имеет только свободную составляющую.

Составляем характеристическое уравнение:

(16.60)

и находим его корни

.

(14.61)

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения оп­ределяется корнями. Возможны три случая.

Первый случай. Если α > ω₀, то корни p₁ и p₂ действительные и разные. При этом общее решение уравнения (14.58) запишется в виде двух экспонент:

,

(16.62)

где А₁ и А₂ – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных усло­вий.

В момент коммутации при t = 0 ток i(0) = 0. Тогда из уравнения (16.62) имеем:

.

(16.63)

Из уравнения (16.57) находим значение производной в начальный момент времени, учитывая, что i(0) = 0, u_C(0) = 0:

.

(16.64)

Продифференцируем уравнение (16.62) и приt = 0 находим:

.

(16.65)

Совместно решая уравнения (16.63) и (16.65), имеем:

.

(16.66)

Таким образом, ток в цепи изменяется по закону (рис.16.13):

.

(16.67)

Второй случай. Если α = ω₀, то корни p₁ и p₂ действительные и одинаковые.

Общее решение уравнения (16.58) в этом случае следующее:

.

(16.68)

Постоянные интегрирования А₁ и А₂ находят из начальных условий. Форма кривой тока такая же, как и в предыдущем случае.

Третий случай. Если α < ω₀, то корни комплексно-сопряжённые:

,

(16.69)

где

.

(16.70)

Подставляя значения корней в (16.67), находим:

.

(16.71)

На рис.16.14 показан график переходного процесса в этом случае.

Во всех трёх рассмотренных случаях под действием источника постоянной э.д.с. происходит зарядка конденсатора. В первых двух случаях зарядный ток не изменяет своего направления, что характеризует апериодический процесс. В по­следнем случае ток представляет собой затухающую синусоиду, что характери­зует колебательный процесс. Колебания в контуре возникают вследствие перио­дического взаимного преобразования энергии электрического поля, накапливае­мой в конденсаторе, и магнитного поля катушки.

Присутствие активного сопротивления в цепи приводит к затуханию колеба­ний вследствие рассеяния энергии в активном сопротивлении. Характер про­цесса зависит от корней характеристического уравнения, которые, в свою оче­редь, определяются соотношением параметров элементов цепи.