16.6. Зарядка конденсатора через резистор

Рассмотрим расчётную схему последовательного соединения активного со­противления и ёмкости, которые подключаются к источнику постоянной э.д.с. (рис.16.8).

Найдём закон изменения напряжения на ёмкости в послекоммутационный период. Запишем для расчётной схемы уравнение по второму закону Кирхгофа:

.

(16.40)

Учитывая, что напряжение на активном сопротивлении

,

(16.41)

где τ = rC – постоянная времени цепи, с,

то получим дифференциальное уравнение:

.

(16.42)

Переходное напряжение на конденсаторе

.

(16.43)

Находим свободное напряжение на конденсаторе:

;
;	;	(16.44)
.

Принуждённое напряжение на конденсаторе

.

(16.45)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:

.

(16.46)

Находим постоянную интегрирования из начальных условий: в момент ком­мутации согласно второму закона коммутации напряжение на конденсаторе равно нулю, т.е. при t = 0 u_C (0) = 0, таким образом, уравнение (16.46) для этого момента времени запишется так:

,

откуда

;
.	(16.47)

Покажем это на графике (рис.16.9).

Переходный ток в цепи

.

(16.48)

Из уравнения (16.48) видно, что в момент коммутации ток изменяется скач­ком от нуля до значения и затем постепенно уменьшается.

Переходное напряжение на активном сопротивлении

.

(16.49)

Так же как и ток, напряжение на активном сопротивлении тоже изменяется скачком от нуля до значения Е, а затем постепенно уменьшается.

Рассмотрим энергетическую сторону процесса зарядки конденсатора. Энер­гия, которая поступает от источника

ли

,

т.е.

.

(16.50)

Таким образом, при любых значениях r и С половина энергии, полученной от источника за время переходного периода, перейдёт в теплоту на активном сопро­тивлении, а вторая половина накопится в электрическом поле конденсатора.

16.7. Разрядка конденсатора через резистор

Пусть теперь конденсатор, заряженный до напряжения Е, в момент коммута­ции замыкается на активное сопротивление (рис.16.10). Найдём закон изменения напряжения на конденсаторе в послекоммутационный период.

Для послекоммутационной цепи справедливы уравнения:

;
,

или

;
.	(16.51)

В данном случае переходное напряжение на конденсаторе не имеет принуж­дённой составляющей, т.е.

, поскольку .

Поэтому получим:

;

;

.

(16.52)

Найдём постоянную интегрирования из начальных условий: в момент ком­мутации по второму закону коммутации напряжение на конденсаторе равноЕ, т.е. при t = 0 u_C(0) = Е и тогда уравнение (16.52) запишется так:

,

в результате получим (рис.16.11):

.

(16.53)

Найдём ток в цепи:

.

(16.54)

Напряжение на активном сопротивлении

.

(16.55)

С энергетической точки зрения процесс разрядки конденсатора характеризу­ется переходом энергии, накопленной в электрическом поле конденсатора, в теп­лоту:

.

(16.56)