3й курс 6 семестр / S_mat
.pdf
=2 =
Поскольку статический момент инерции равен произведению площади сечения на координаты его центра тяжести, то его величина может быть использована для определения центра тяжести сложных составных сечений.
Если плоское сечение состоит из нескольких простых сечений либо прокатных профилей, то статические моменты таких сечений определяются как алгебраическая сумма состоящая из нескольких простых сечений.
y b
h
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
a |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
¹ + |
¹ + |
¹ |
|
|
|
|
||||
|
|
− |
¯ + |
¯ + |
¯ |
|
− |
|
|||||
= ( − ) |
− |
|
|
+ |
|
+ ( |
− ) b + |
|
|||||
|
2 |
|
2 |
2 |
|
||||||||
|
|
= |
= |
» + |
» + |
» |
|
|
|
|
|||
|
|
|
¯ + |
¯ + |
¯ |
|
|
|
|||||
= ( − ) − 2 + 2 + ( − ) 2
Статический момент инерции может быть положительным, отрицательным или равен нулю, если координатные оси проходят через центр тяжести сечения.
19. СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ.
Пусть статический момент инерции относительно заданных осей известен. Определим статический момент инерции относительно осей, параллельных заданным.
71
= |
|
= ( + ) = |
|
E + |
|
|
= E + |
||||||||||
( ) |
( ) |
|
( ) |
|
|
|
( ) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогичным образом: |
¹ = |
+ E |
|
= |
+ |
Таким образом статический момент инерции относительно осей параллельных заданным равен сумме статического момента инерции относительно исходных осей и произведения площади сечения на расстояние между осями.
20. ОСЕВОЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ.
Осевыми называются моменты инерции, определяемые из следующего выражения:
= ( ) |
|
= ( ) |
|
Где: = , тогда:
= ( ) |
= |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
= |
|
|
3 |
− |
|
3 |
8 |
8 |
12 |
||||||
|
|||||||||||||
|
|
Аналогичным образом определяем осевой момент инерции относительно оси “y”.
72
= ( ) |
= |
|
12 |
||
Определим момент инерции относительно осей параллельных центральным. |
||
Пусть: |
+ |
|
= |
|
|
73
= ( ′) = ( + ) = ( + 2$ + ) = |
+ 2$ + |
|
|||
( ) |
( ) |
( ) |
( ) |
( ) |
( ) |
Аналогичным образом определяем Jy’=: |
+ |
|
|
||
|
|
¹ = ( ′) |
= + |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
Таким образом, осевой момент относительно оси параллельной центральной равен сумме осевого момента инерции относительно центральной оси и произведению площади сечения на квадрат расстояния между осями.
21. ОСЕВОЙ МОМЕНТ СОПРОТИВЛЕНИЯ.
Осевым моментом сопротивления называется величина, определяемая из выражения:
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
|
= |
|
2 |
= |
|
|
|||
|
|
12 |
|
6 |
|||||||
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||
21.5. ПОЛЯРНЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ И СОПРОТИВЛЕНИЯ.
Полярным моментом инерции называется величина, определяемая из выражения :
( )
= ( + ) = |
+ |
= + |
( ) |
( ) |
( ) |
Таким образом, полярный момент инерции относительно полюса являющегося точкой пересечения осей координат равен сумме осевых моментов инерции относительно осей проходящих через этот полюс.
Определим полярный момент инерции для круглого сечения:
74
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∙ |
( ) |
|
¦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¦ = |
k |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
# |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= ( ) |
= |
¦ = |
|
= |
4 |
2$ = |
2 |
= |
2 |
= |
32 |
≈ 0,1 |
Полярный момент сопротивления для того же сечения:
= |
|
= |
2 |
= |
k |
≈ 0,2 |
|
|
32 |
|
16 |
||||
22. ЦЕНТРОБЕЖНЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ.
Центробежный момент инерции сечения величина, определяемая из выражения:
=
( )
Поскольку обе координаты входят в уравнение в первой степени, то эта величина может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Оси координат, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю называются главными осями. Если к тому же эти оси проходят через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными осями.
Теорема о параллельных осях для центробежного момента инерции.
75
Пусть известен центробежный момент инерции относительно центральных осей сечения. |
||||||||||
Определим центробежный момент инерции сечения относительно осей параллельных |
||||||||||
центральным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dF |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
= |
+ |
|
|
|
|
||
= |
|
|
+ ,( ) |
= |
+ |
+ |
|
|||
= ( + )( + ) = |
E + |
|||||||||
( ) |
( ) |
E |
+ |
( ) |
= |
( ) |
( ) |
|
( ) |
|
|
= |
+ |
+ |
+ |
E |
|
|
|||
Таким образом центробежный момент инерции относительно осей параллельных |
||||||||||
центральным равен сумме центробежного момента инерции относительно центральных осей и |
||||||||||
произведения площади на оба расстояния между координатными осями. |
|
|
||||||||
Если для данного сечения хотя бы одна из осей является осью симметрии, то |
||||||||||
центробежный момент инерции относительно этих осей равен нулю. |
|
|
||||||||
76
y |
|
dF |
dF |
-x |
x |
|
x |
= |
|
+ (− ) = 0 |
||
|
|
|
|
|
24. ОСЕВЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ ПОВЁРНУТЫХ ПО ОТНОШЕНИЮ К ЦЕНТРАЛЬНЫМ.
Пусть для некоторой фигуры известны осевые моменты инерции и центробежный момент инерции. Известно, что оси координат, проходящие через это сечение, являются центральными осями. Определим осевые моменты инерции при повороте осей на угол “α” в
положительном направлении (против хода часовой стрелки).
= ( ) |
, |
= ( ) |
|
|
= ( ) |
|
|
Выразим координаты “X1” и “Y1” через известные величины “X и Y” и угол “α”.
= |
+ + |
] = |
+ cos |
+ |
W sin |
= |
cos |
+ |
sin |
= |
W − |
= |
W cos |
− |
+ sin |
= |
cos |
− |
sin |
Тогда:
= ( ) |
, |
= ( ) |
|
( )
77
= |
= |
( cos |
− |
sin |
|
) |
|
= |
( |
cos |
|
|
− 2$ |
sin |
cos |
+ |
sin |
) |
( ) |
|
( ) |
= |
cos |
|
|
|
( ) |
cos |
+ |
sin |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
− 2$ sin |
|
|
|
|
(1) |
|||||||||
= |
= |
( cos |
= |
cos |
|
+ |
sin |
− |
sin 2$ |
cos |
sin |
+ |
sin |
|||||
+ |
sin |
) |
|
= |
( |
cos |
|
|
+ 2$ |
) |
||||||||
( ) |
|
( ) |
= |
cos |
|
|
|
( ) |
sin |
+ |
sin |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
+ 2$ cos |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
момента инерции: |
+ |
|
sin 2$ |
|
|
|
|
(2) |
|||||||
Сложим оба полученных = |
sin |
|
+ |
cos |
|
|
|
|
|
|||||||||
Таким образом, сумма осевых |
моментов инерции не зависит от угла поворота осей “α” и |
|||||||||||||||||
|
+ |
= |
+ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
является постоянной величиной – полярным моментом инерции. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
78
|
= ( )( cos |
+ |
|
sin )( |
cos − sin |
) |
|
||||||
= ( ) |
b cos |
− |
1 |
sin 2$ + |
1 |
sin 2$ − |
sin |
|
|||||
|
2 |
|
2 |
||||||||||
= |
cos |
− |
1 |
sin 2$ + |
1 |
sin 2$ − |
sin |
|
|||||
|
2 |
2 |
|
||||||||||
|
|
= |
|
− |
|
sin 2$ + |
|
cos 2$ |
|
(3) |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
Изменим значение угла “α” так, чтобы центробежный момент инерции относительно повёрнутых осей был равен нулю. Определим значение угла “αo”, которое соответствует этому требованию.
|
− |
= 0 |
при угле : |
|
|||
|
sin 2$ |
+ |
cos 2$ = 0 |
|
|||
2 |
|
||||||
|
− |
|
sin 2$ = − |
cos 2$ |
|
||
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
− |
H2$ |
= − |
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
H2$ |
= − |
2 |
|
(4) |
|
|
|
− |
|
||||
Уравнение (4) определяет положение главных осей (то есть осей, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю) через H2$ .
Зная значение этого угла можем определить главные моменты инерции. Для этого подставим значение угла “α” в уравнение (1) и (2). Предварительно преобразуем тригонометрические функции одинарного угла в двойной.
cos |
= |
1 + cos 2$ |
|
; |
sin |
= |
1 − cos 2$ |
||
2 |
|
|
2 |
||||||
= |
1 + cos 2$ |
+ |
1 − cos 2$ |
|
− |
sin 2$ |
|||
|
2 |
2 |
|
||||||
Разрешим уравнение (4) относительно центробежного момента “Jxy” и подставим его в полученное уравнение.
|
|
|
|
|
= − |
|
− |
|
H2$ |
|
|
|
|
||||
|
+ |
|
− |
|
2 |
|
|
− |
|
cos 2$ + sin 2$ |
|||||||
|
|
|
− |
|
|
sin 2$ |
+ |
|
|
||||||||
= |
2 |
+ |
2 |
cos 2$ + |
2 |
+ |
|
cos 2$ |
= |
2 |
+ |
2 |
|
cos 2$ |
|||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
+ |
|
− |
1 |
|
|
(5) |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
cos 2$ |
|
|
||||
79
Воспользовавшись формулой преобразования одних тригонометрических функций в
другие, преобразуем 1 cos 2$ в |
H2$ . |
|
|
|
|
|
|
1 |
= ± 1 + H |
2$ |
|
||
Заменим в уравнении (5) |
значение |
|
на |
|
и подставим его значение из |
|
cos 2$ |
1 cos 2$ |
H2$ |
|
|||
уравнения (4): |
|
|
|
|
||
= |
+ |
± |
|
− |
1 + |
4Z |
|
|||
2 |
2 |
− |
|
|||||||
= |
+ |
|
± |
1 |
|
|
− |
+ 4Z |
|
(6) |
2 |
|
2 |
|
|
||||||
Уравнение (6) совместно с уравнением (4) определяет положение главных осей углом
“αo” и положение главных моментов инерции относительно главных осей.
Вопросы для самоконтроля.
1.Геометрические характеристики плоского сечения.
2.Статистические, осевые и центробежный момент инерции сечения.
3.Значение моментов инерции при повороте осей.
4.Главные моменты инерции, положение главных осей.
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ.
Все рассмотренные ранние случаи напряжённо-деформированного состояния называются простыми, так как состоят только из одного вида напряжённо деформированного состояния (растяжение (сжатие), сдвиг, изгиб, кручение). Однако на практике конструкции находятся под действием двух или более напряжённо деформированных состояний. Состояние элемента конструкции подвергающейся действию одновременно нескольких простейших деформаций называется сложным сопротивлением. К ним относятся:
–косой изгиб;
–внецентренное сжатие;
–кручение с изгибом.
25. КОСОЙ ИЗГИБ.
Если моменты действующие на балку не находятся ни в одной из плоскостей симметрии то такое состояние балки называется косым изгибом.
Рассмотрим один из случаев косого изгиба.
80