3й курс 6 семестр / S_mat
.pdf
Величина в скобках называется приведённым или эквивалентным изгибающим
моментом по первой теории прочности. То есть:
+ + кр
пр = эк = 2
Условие прочности по этой теории будет иметь вид:
= пр ≤ [ ]
ВТОРАЯ ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ (теория прочности наибольших относительных деформаций).
Согласно этой теории прочности прочность материала в сложном напряжённом состоянии будет обеспечена если наибольшая относительная деформация в случае сложного напряжённого состояния не превышает относительной деформации для одноосного напряжённого состояния.
Согласно обобщённому закону Гука относительная деформация:
= |
1 |
[ |
− 2$ ( |
+ |
)] |
|
= |
1 |
[ |
− 2$ ( |
+ |
|
≥ ≥ |
|
)] |
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
[ |
− 2$ ( |
+ |
)] |
|
|
|
Из этих наибольших напряжений наибольшим является “σ1” поэтому условие прочности по второй теории прочности будет иметь вид:
≤ [ ],
где [ε] – допустимая относительная деформация для случая одноосного напряжённого состояния.
[ ]
[ ] =
Отсюда получим, что:
1 [ − 2$ ( + )]≤ [ ]
Если используется пластичный материал для которого известен коэффициент Пуассона
(например сталь), то полученное уравнение может быть преобразовано в виде:
=из =
Как и первая, так и вторая теории прочности в настоящее время не используются для расчёта валов на прочность, так как первая теория применима к хрупким материалам, а вторая теория даёт плохие результаты.
91
ТРЕТЬЯ ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ (теория наибольших касательных напряжений)
Согласно этой теории прочности, прочность материала находящегося в сложном напряжённом состоянии будет обеспечена, если наибольшее касательное напряжение,
возникающее при случае сложного напряжённого состояния, не превзойдёт допустимых касательных напряжений для случая одноосного напряжённого состояния.
= |
1 |
sin 2$ |
|||
2 |
|||||
= |
2 |
|
при = 45 о |
||
[ ] = |
[2 |
] |
|||
Для случая плоского напряжённого состояния:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для объёмного напряженного |
состояния= |
: |
|
|
|
|
sin 2$ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
из |
|
± |
|
|
|
|
|
|
из + 4Zкр |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
из |
+ |
|
|
из + 4Zкр |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
|
|
из + 4Zкр |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Отсюда: |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
( − |
)= |
1 |
|
|
|
из |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из |
|
1 |
|
||||
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
из + 4Zкр − |
|
+ |
из + 4Zкр |
|||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
из + 4Zкр ≤ [ ] |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ ] |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
из |
+ 4Zкр ≤ |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Подставим в это уравнение значение нормальных напряжений от изгиба и касательных от кручения:
из = |
|
; |
кр = |
кр |
= |
кр |
|
|
2$ |
||||
|
|
|||||
= |
+ |
|
|
|
||
92
|
|
|
|
|
|
кр |
|
|
|
|
|
+ 4 |
4Z |
≤ [ ] |
|
1 |
|
||||||
|
|
|
+ кр |
≤ [ ] |
|||
Величина под квадратным корнем |
|
называется приведённым или эквивалентным |
|||||
изгибающим моментом по третьей теории прочности.
Ì |
Ì |
+ кр = |
+ + |
пр = |
эк = |
Условие прочности по третьей теории с использованием приведённого момента имеет
вид:
пр ≤ [ ]
где:
= 0,1
Отсюда диаметр вала равен:
≥
пр
0,1[ ]
ЧЕТВЁРТАЯ ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ (теория наибольшей относительной удельной потенциальной энергии деформации)
Согласно этой теории прочность материала, находящегося в условиях сложного напряжённого состояния будет обеспечена, если потенциальная энергия упругой деформации,
накопленная единицей объёма материала, для случая сложного напряжённого состояния не превосходит это значение для случая одноосного напряжённого состояния.
Приведённый или эквивалентный изгибающий момент по этой теории прочности вычисляется как:
Ì |
= |
Ì |
= |
+ 0,75 кр |
пр |
эк |
кр
= 0,1[ ]
Вопросы для самоконтроля.
1.Косой изгиб. Определение напряжений и расчет на прочность.
2.Внецентренное растяжение или сжатие коротких стержней. Определение напряжений, расчет на прочность.
3.Кручение с изгибом. Построение эпюр и определение опасного сечения.
93
4.Понятие о теориях прочности для сложного сопротивления.
5.Определение приведенных изгибающих моментов по четырем теориям прочности для случая кручения с изгибом круглого вала.
ЛИТЕРАТУРА
1.Беляев Н.М. Сопротивление материалов. ⁄ Н.М. Беляев - М.: Наука, 1976. – 608 с.
2.Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. ⁄ В.И. Феодосьев - М.: Наука, 1986. – 512
с.
3.Дарков А.В., Шапиро Т.С. Сопротивление материалов. ⁄ А.В. Дарков, Т.С. Шапиро - М.: Наука, Высшая школа, 1975. – 654 с.
4.Беляев Н.М. Сборник задач по сопротивлению материалов. ⁄ Н.М. Беляев - М.: Наука, 1986. – 348 с.
5.Писаренко Т.С. Сопротивление материалов. ⁄ Т.С. Писаренко - Киев: Наукова думка, 1986. – 528 с.
6.Долинский Ф.В. Сопротивление материалов: Методические указания и контрольные задания для студентов заочников механических, машиностроительных и транспортных специальностей вузов. – 2-е изд. ⁄ Ф.В. Долинский – М.: Высшая школа, 1990. – 80 с.
7.Долинский Ф.В. Краткий курс сопротивления материалов. ⁄ Ф.В. Долинский, М.Н. Михайлов – М.: Наука, 1988. – 312 с.
8.Ободовский Б.В. Сопротивление материалов в примерах и задачах. ⁄ Б.В. Ободовский, С.Б. Ханин – Харьков: ХГУ, 1981. – 344 с.
9.Афанасьев А.М., Марьин В.Л. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов ⁄ А.М. Афанасьев, В.Л. Марьин – М.: Наука, 1975. – 328 с.
Толкунов Алексей Евгеньевич Сопротивление материалов, конспект лекций
Тираж ____ экз. Подписано к печати ____________
Заказ № ______ Объём 2,42 п.л. Издательство “Керченский государственный морской технологический университет”
98309 г. Керчь, Орджоникидзе, 82.
94