3й курс 6 семестр / S_mat
.pdf
dφ
dF
φ
R ρ
dρ
( )
= ∙ ∙
=¦
( )
Отсюда:
= |
= |
2$ |
= |
k |
4 |
2 |
Поскольку размер валов принято определять их диаметром, то запишем полученное выражение через диаметр:
= |
2 |
= 32 |
2 |
Полученное уравнение можно приближённо записать следующим образом:
≈ 0,1
Полярный момент сопротивления для вала сплошного поперечного сечения будет равен:
|
= |
|
= |
32 |
2 |
= |
16 |
Или приближённо: |
|
||||||
2. Полое сечение. |
|
|
≈ 0,2 |
||||
51
Согласно эпюре распределения касательных напряжений в сечении вала следует, что слои материала расположенные ближе к полюсу мало нагружены. Поэтому рациональнее использовать сечение валов имеющих внутреннее отверстие. Определим полярный момент инерции и момент сопротивления для такого вала.
D
Обозначим наружный диаметр вала как “D”, а внутренний через “d”, тогда:
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
= |
|
|
1 − |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Обозначим соотношение |
диаметров через “α”, то есть |
, получим: |
||||||||||||||||||
|
|
|
32 |
|
|
32 |
|
|
32 |
|
|
|
||||||||
Аналогично: |
|
|
|
= |
|
32 |
[1 − |
|
] ≈ 0,1 (1 − |
) |
|
|||||||||
= |
|
= |
|
k |
2 |
|
(1 − |
|
)= |
|
|
(1 − )≈ 0,2 (1 − ) |
||||||||
|
32 |
|
|
|
|
16 |
||||||||||||||
3. Тонкостенное сечение.
Более рациональным с точки зрения использования прочностных свойств материала является тонкостенное сечение вала.
( )
Поскольку для данного сечения вала толщина стенок является очень маленькой величиной по сравнению со средним диаметром, то радиус “ρ” можно считать постоянным для данного сечения, поскольку его изменения незначительны. То есть:
= 2ср = D ®
52
= |
ср |
|
= |
ср |
2 |
( ) |
4 |
||
|
= |
|
ср |
|
|
= |
|
¯ |
|
|
|
4 |
|
Для тонкостенного сечения может быть задано отношение толщины стенки к среднему диаметру:
= = ¯
¯
= k ¯ 4
Полярный момент сопротивления для тонкостенного сечения:
= |
|
= |
¯ 2 |
|
= = |
k ¯ |
|
|
4 |
|
¯ |
2 |
|||
16. РАСЧЁТ ВИНТОВЫХ ПРУЖИН.
Винтовые пружины довольно часто встречаются в различных машинах и автоматах.
Для расчёта примем пружину малого шага, то есть пружину у которой отношение диаметра навивки к её шагу больше шести. В расчётах примем следующие обозначения (рис. а):
D = 2R – диаметр и радиус навивки;
d – диаметр прутка из которого изготовлена пружина; n – количество витков;
h – шаг навивки.
Для расчёта на прочность сделаем сечение и определим внутренние силы действующие в этом сечении. Так как шаг навивки небольшой, то можно считать, что поперечное сечение совпадает с продольной осью пружины (рис. б, в).
53
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
P |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d Mкр
R
б
h
Mкр
А |
|
O |
B |
|
|
||
R |
r |
|
|
P |
|
|
|
D |
P |
|
R |
|
|
||
a |
|
|
в |
Используя принцип независимости действия сил, построим эпюры касательных напряжений от действия силы “P” лежащей в плоскости сечения, и крутящего момента “Mкр” на отрезке “AB” сечения прутка пружины. Считая, что напряжения от действия силы “P”
распределены равномерно по всей площади сечения получим:
== 4Z
Напряжения от крутящего момента:
=кр
Крутящий момент от действия силы “P” определим как:
кр = 2
54
Наибольшие касательные напряжения будут в точке на поверхности прутка, которые определяются из выражения:
Принимая во внимание, что: = |
= |
кр |
|
|||
|
16, получим: |
|||||
|
|
< 16 |
8£ |
|||
|
= |
2 |
|
|
= |
|
|
|
|
||||
Таким образом получаем эпюры касательных напряжений от силы “P” и крутящего момента “Mкр”.
τ2 max
от силы “P” |
от момента “М” |
А |
B |
А |
B |
Mкр
τ1 |
τ2 max |
Из анализа полученных эпюр следует, что наиболее опасной точкой поперечного сечения прутка пружины будет точка “B”, где складываются оба касательных напряжения.
Условие прочности для этой точки:
= + |
= |
4Z |
+ |
8£ |
|
= |
4Z |
1 + |
2$ |
||
|
|
4Z |
2$ |
|
≤ [ ] |
||||||
|
= |
k |
1 + |
|
|
||||||
|
|
||||||||||
Из анализа полученного уравнения следует, что для большинства пружин, у которых диаметр навивки намного превосходит диаметр прутка отношение 2$ 1 . Поэтому в полученном уравнении единицей можно пренебречь, тогда:
8£ ≤ [ ]
Из этого выражения можно определить требуемый диаметр прутка пружины:
55
= |
8£ |
[ ] |
Во многих расчётах требуется определить жёсткость пружины. Жёсткость пружины
представляет собой силу, которую необходимо приложить к пружине, чтобы деформировать её на единицу длины. Для её определения рассмотрим элемент пружины, выделенный двумя смежными сечениями, отстоящими друг от друга на расстояние “dS”.
В виду малости элемента пружины “dS” можно считать, что радиусы навивки “O1C” и “O2C” проведены в двух смежных сечениях, пересекающихся в одной точке “C”.
Приложим к пружине внешнюю силу “P” и определим деформацию элемента “O1O2”. В
сечении этого элемента возникнет поперечная сила и крутящий момент. Из полученных ранее результатов следует, что касательное напряжение от силы “P” пренебрежительно мало по сравнению с напряжениями от крутящего момента. Поэтому для определения деформации элемента “O1O2” ,будем рассматривать только действие крутящего момента.
Определим угловую деформацию этого элемента:
= кр
56
При этом точка “C” перемещается на величину “dλ” и оказывается в положении “C1”.
Величина “dλ” представляет собой элементарную |
|
|
|
деформацию элемента пружины |
“dS”. |
|||||||||
Определим эту величину: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
2 |
|
|
|
|
||||||
= |
|
кр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для определения суммарного смещения |
всей пружины проинтегрируем полученное |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
выражение вдоль всей длины прутка: |
|
|
|
|
кр |
\ |
|
|
|
|||||
= |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2$ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Определим длину всего прутка пружины, пренебрегая наклоном витков в продольной |
||||||||||||||
оси и считая, что длина одного витка равна “πD”: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
|
|
кр |
k |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2$ |
= |
|
|
|
32”, а “ кр = < 2” получим: |
|
|||||
Так как полярный момент инерции равен: “ |
|
|
|
|
||||||||||
= |
< |
|
k |
|
|
|
32 |
|
|
|
||||
2 |
|
2$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
8£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
“C”.= |
|
|
|
|
|
||||||||
Определим жёсткость пружины |
|
Жесткость |
пружины представляет из |
себя |
||||||||||
отношение силы “P” к деформации вызванной этой силой:
== 8£
Вопросы для самоконтроля.
1.Кручение. Понятие о кручении круглого цилиндра.
2.Эпюры крутящих моментов.
3.Напряжения и деформации при кручении.
4.Расчетные формулы на прочность и жесткость при кручении.
5.Относительное удлинение и жёсткость винтовых пружин.
ИЗГИБ.
Изгиб – вид напряжённо деформированного состояния, который довольно часто встречается в различных элементах конструкций и сооружений.
Под действием изгиба будем рассматривать такие балки, которые имеют хотя бы одну
57
плоскость симметрии и все силы и моменты действующие на балку лежат в этой плоскости. В
этом случае балка будет испытывать так называемый плоский изгиб.
Для расчёта на прочность в таком случае необходимо определить опасное сечение и точку в этом сечении где напряжения будут максимальными. Для решения первой задачи необходимо построить эпюру внутренних силовых факторов, а это требует определения реакций связи (реакций опор балки). Эта задача была подробно рассмотрена в курсе теоретической механике и здесь рассмотрена не будет.
58
При расчёта на изгиб будем рассматривать такие балки, которые имеют хотя бы одну плоскость симметрии и все силы и моменты действующие на балку лежат в этой плоскости. Всё многообразие нагрузок действующих на балку можно условно разделить на три вида:
сосредоточенная сила, сосредоточенный изгибающий момент и распределённые нагрузки. Чаще всего распределённые нагрузки является равномерно распределённой по длине и задаётся
интенсивностью распределённой нагрузки “q” (Н ⁄м). Кроме этого в качестве распределённой нагрузки может выступать собственный вес массивной конструкции. Для неравномерно распределённых нагрузок задаётся закон распределения.
Решение задачи на изгиб начинается с определения опорных реакций. После их определения переходят к определению внутренних силовых факторов. Определение внутренних силовых факторов осуществляется с помощью метода сечений. Для этого в интересующем месте балки мысленно проводят плоское сечение. Отбрасывают одну из частей и рассматривают равновесие оставшейся части. В сечении оставшейся части прикладывают внутренние силы и моменты способные уравновесить внешние.
В сечении оставшейся части будет действовать поперечная сила “Q” и изгибающий момент “Миз”. В сечении отброшенной части согласно принципу равенства действия и противодействия будут действовать те же сила и момент но противоположно направленные.
Для определения внутренних силовых факторов пользуются следующим правилом:
–поперечная сила “Q” в сечении определяется как алгебраическая сумма внешних сил действующих по одну сторону от сечения, взятых со знаком “+” если движение осуществляется
всоответствии с правосторонней системой координат.
–внутренний изгибающий момент “Mиз” в сечении равен алгебраической сумме моментов внешних сил действующих по одну сторону от сечения. При этом знак “+” берётся,
если внешний момент направлен по часовой стрелки слева от сечения или против хода часовой стрелки с права от сечения.
Чтобы упростить построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов их знаки определяются внешними силами. Для этого применяют следующее правило знаков для поперечных сил:
Для изгибающих моментов:
59
17.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ВНУТРЕННИМИ СИЛОВЫМИ ФАКТОРАМИ В СЕЧЕНИИ БАЛКИ.
Для получения зависимостей рассмотрим балку, нагруженную распределённой нагрузкой положительного знака переменной интенсивности. Рассмотрим элемент балки,
заключённый между двумя смежными сечениями отстоящими друг от друга на величину “dx” и
определённой произвольной координатой “x”.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q(x) |
M(x) |
|
|
|
|
|
|
M(x) + dM(x) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(x) |
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(x) + dQ(x) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
RA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RB |
|
|
x |
|
|
dx |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим равновесие выделенного элемента. Под действием внутренних сил и моментов изображённых на рисунке, а также внешней распределённой нагрузки, которую на расстоянии “dx” можно считать равномерно распределённой.
Сумма проекций всех сил на ось “y”:
= 0; ( )+ ( ) − [ ( )+ ( )] = 0
Q
( )+ ( ) − ( )= ( )
( )= ( )
Таким образом производная от поперечной силе по координате сечения равна интенсивности распределённой нагрузки действующей в данном сечении.
60