Подставляем полученные значения в уравнение 9.5 и определяем зависимость усилия N2

от N1:

∙ √ 2 ∙ ∙ ∙√ 2 ∙ 1

=

∙∙ ∙ √ 5 ∙ 1 ∙√ 5

1.Расчётная схема при растяжении сжатии.

2.Распределение нормальных напряжений в сечении стержня.

3.Относительное удлинение при растяжении.

4.Закон Гука для растяжения сжатия.

СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ

10.ОСНОВЫ СЛОЖНОГО НАПРЯЖЁННОГО СОСТОЯНИЯ.

10.1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЯХ.

Рассмотренные ранее случаи относились к простому или одноосному растяжению или сжатию. На практике встречаются более сложные случаи, когда материал испытывает растяжение или сжатие сразу в двух или в трёх взаимно перпендикулярных направлениях. Это так называемое плоское или объёмное напряжённое состояние. Очевидно, что для самого

23

общего случая наклонное сечение не будет перпендикулярным ни одной из осей. Поэтому возникает задача определения напряжения в наклонных сечениях.

Определим напряжения в наклонном сечении, но для простоты решения поставленной задачи рассмотрим одноосное растяжение. Для определения напряжений в наклонных сечениях рассмотрим равновесие выделенного элемента. В сопротивлении материалов положение

наклонной площадки принято определять углом между нормалью, проведёнными к основной и

наклонной площадкам.

nα n

α

σα τα

α

Fα

α

F

При рассмотрении равновесия данного элемента следует, что в наклонном сечении будут действовать два напряжения: нормальное “σ” и касательное “τ”.

Положительное направление касательного напряжения выбирается в соответствии с правой системой координат.

Составим уравнения равновесия в виде проекции на “nα” нормаль и ось перпендикулярному этому направлению и образующей правую систему координат.

− cos = 0

−sin = 0

где: Fα – площадь наклонной площадки.

= cos

Подставим её и выразим значение нормального и касательного напряжения в наклонной площадки:

24

= sin cos

=cos

=2 sin 2$

Таким образом в наклонной площадке будет действовать два напряжения: нормальное и касательное. Этим двум напряжениям будут соответствовать два вида деформации:

–нормальному – удлинение или сжатие;

–касательному – сдвиг.

Этим двум напряжениям будет соответствовать два вида разрушения материала: путём отрыва и путём среза (сдвига).

10.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В СЕЧЕНИИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОМ НАКЛОННОМУ.

Для определения напряжения в наклонных площадках воспользуемся предыдущем результатом. Поскольку значение угла “α” не было задано, в этот угол в полученных уравнениях мы можем принять как “α + π ⁄2”. Тогда:

согласно принятой правой системы координат. Модуль же напряжения будет такойже как и в наклонной площадке.

25

nα n

α

s

2

n

2

Равенство касательных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках называется законом парности касательных напряжений. Соответственно угол равный максимальному касательному напряжению будет в 45°.

10.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В НАКЛОННОЙ ПЛОЩАДКЕ ДЛЯ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ.

Плоским напряжённым состоянием называется такое состояние материала когда в

нём в двух взаимно перпендикулярных направлениях действуют нормальные напряжения. Эти

напряжения называются главными.

Если на элемент материала действуют только нормальные напряжения в трёх взаимно перпендикулярных направлениях, то такое напряжённое состояние называется объёмным.

Если в площадках материала действуют только нормальные напряжения, то такие напряжения называются главными, а площадки в которых они действуют – главными площадками. Главные напряжения обозначаются: σ1, σ2, σ3. Между ними существует следующая взаимосвязь: σ1 < σ2 < σ3 (знаки расставлены с учётом знака напряжения).

Определим напряжения в наклонном сечении материала находящегося в плоском напряжённом состоянии.

В сопротивлении материалов положение наклонной площадки принято определять углом α по отношению к главной площадке в которой действует напряжение σ1.

26

Для определения напряжений в наклонном сечении воспользуемся результатом,

полученным ранее результатом, а также принципом независимости действия сил.

2

Рассмотрим частные случаи плоского напряжённого состояния. 1. Пусть на элемент материала действуют главные напряжения:

σ1 = σ; σ2 = σ, тогда:

σα = σ; τα = 0.

Такое напряжённое состояние называется равномерным растяжением (сжатием). Как видно, нормальные напряжения в любой площадке равны исходным и не зависят от значения угла α. Касательные напряжения равны нулю и также не зависят от угла α.

2. Пусть элемент материала подвержен действию двух главных напряжений:

σ1 = σ; σ2 = – σ.

Определим напряжения в сечении с углом наклона α равным 45°.

27

напряжения действующие в площадках с углом наклона “φ” по отношению к наибольшему напряжению.

Для определения напряжения выделим элемент (рис. а) но для простоты вычисления изобразим ту проекцию, где нормальные напряжения будут полностью проектироваться на плоскость (рис. б).

Обозначим площадь наклонной площадки “dF”, а площадок в которых действуют напряжения “σα”, и “σβ” как “dFα” и “dFβ”. Выразим площади этих площадок через площадку

“dF”, и угол “ φ”.

=cos

=sin

Рассмотрим равновесие выделенного элемента. Поскольку данный элемент представляет собой точку материала, то для него достаточно двух уравнений равновесия представляющих собой проекции на оси “nα и τ”.

Проекция на нормаль “nα”:

Проекция на ось “τ”:

Подставим в полученные уравнения значения площадок “dFα” и “dFβ”.

29