3й курс 6 семестр / S_mat
.pdf
Векторная величина напряжения неудобно для использования в сопротивлении
материалов, поэтому это напряжение раскладывается на два направления:
–перпендикулярное плоскости сечения. Такое напряжение называется нормальным и обозначается σ;
–лежащее в плоскости сечения. Такое напряжение называется касательным и обозначается τ.
Для нормального напряжения выбирается знак “+” если это напряжение направлено от сечения. Знак касательного напряжения зависит от выбора осей координат и от выбора сечения.
Имея нормальное и касательное напряжение можно сформулировать закон прочности:
максимально возможное напряжение в материале не должно превосходить напряжения, при котором наступает разрушение материалов. Напряжение, при котором достигается разрушение материала, называется пределом прочности или временным сопротивлением σв и τв. Однако использование в расчётах предела прочности вносит некоторую неопределённость, поэтому вводится понятие допустимого напряжения.
[ ] = = ; [ ] =
где: k – коэффициент запаса прочности; σв – предел прочности.
Зная допустимые напряжения можно записать условие прочности:
≤ [ ]; |
≤ [ ] |
Задача определения допускаемого напряжения решается экспериментально для каждого материала в отдельности.
Вопросы для самоконтроля.
1.Основные понятия сопротивления материалов.
2.Гипотезы и допущения принимаемые в сопротивлении материалов.
3.Реальный объект и расчётная схема.
4.Виды нагрузок и основных деформаций.
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
6. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ.
Рассмотрим стержень, на который действуют продольные осевые нагрузки. Пользуясь методом сечений, определим внешнее усилие в стержне, при этом сделаем столько сечений,
чтобы определить внутренние усилия для всего стержня. Проведём сечение 1–1 и определим внутреннее усилие, на первом участке исходя из условия, что 0 X C. Для этого проведём сечение 1–1, отбросим верхнюю часть, в сечении оставшейся, приложим внутреннюю силу N1,
11
направив её от сечения. В сопротивлении материалов такое направление принимается положительным. Составляем уравнение равновесия и определяем внутреннюю силу N1:
N1 P1 0; следовательно N1 P1 .
Делаем сечение 2–2 и аналогичным образом находим внутреннюю силу N2:
N 2 P1 P2 0; N 2 P2 P1
Делаем сечение 3–3 и |
находим внутреннюю силу N3: |
|
N 2 P1 P2 P3 0; |
N 2 P2 P3 P1 |
|
Внутреннее состояние стержня принято определять построением эпюры нормальных усилий, дающей наглядное представление о напряжённом состоянии стержня. Для расчёта на прочность стержня, необходимо определить опасное сечение и точку в этом сечении, где напряжение будет максимальным. Поскольку напряжение в сечении стержня неизвестно,
выполним следующий эксперимент, который даст наглядное представление о распределении напряжения в сечении стержня.
На поверхность не деформированного стержня наносится серия параллельных линий – продольных и поперечных. Замеряются продольный и поперечный размеры стержня lo и bo.
Затем к свободному концу стержня прикладывается продольная сила Р величина которой не должна превосходить предел пропорциональности.
12
После приложения силы стержень удлиняется на величину l, а его поперечный размер
уменьшается до величины b1. При этом параллельный характер линий не изменится.
Параллельность этих линий говорит о том, что не только на поверхности стержня, но и внутри сечения, следы которых представлены параллельными линиями, остаются также параллельными, сохранив при этом плоскую форму как до деформации так и после неё.
Такое распределение сечений после деформации называется гипотезой плоских сечений или гипотезой Бернули. Поскольку сечения остаются плоскими и после деформации то логично предположить, что напряжения в этих сечениях распределяются равномерно по всей
поверхности, то есть:
|
|
dN s dF |
Проинтегрируем полученное выражение, получим: |
||
dN |
s dN , или N s dF , |
|
|
( F ) |
( F ) |
Отсюда получим, что:
N s F .
Следовательно, нормальные напряжения в стержне будут равны:
s N F
Таким образом, определена величина напряжений в сечении стержня и характер её распределения. Поэтому наряду с эпюрой нормальных усилий, строят эпюру нормальных напряжений, которая даёт наглядное представление о напряжённом состоянии стержня, а также позволяет определить опасное сечение стержня.
Пусть стержень имеет постоянное поперечное сечение площадью F. Тогда напряжение на трёх его участках будет определяться на основании эпюры нормальных усилий:
13
s1 |
|
N |
1 |
; s 2 |
|
N |
2 |
; s 3 |
|
N 3 |
. |
|
F |
F |
F |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При приложении силы Р геометрические размеры стержня изменяются. Длина увеличивается, в то время как ширина уменьшается. Абсолютное удлинение стержня будет равно:
∆ = −
Относительное продольное удлинение стержня
= ∆
Между напряжением и относительным продольным удлинением существует взаимосвязь, называемая законом Гука для растяжения или сжатия.
Е– модуль упругости материала при растяжении и сжатии, или модуль упругости первого рода.
Поперечная деформация стержня характеризуется относительной поперечной деформацией: ε'
−
=
Между продольной и относительной деформацией существует взаимосвязь выражаемая следующим образом:
= − ∙
где: µ – коэффициент Пуассона.
7.УЧЁТ СОБСТВЕННОГО ВЕСА СТЕРЖНЯ.
Внекоторых случаях, когда стержень изготовлен из материала имеющего невысокие прочностные свойства и достаточно большой удельный вес, в расчётах на прочность, а также деформацию такого стержня необходимо вычислять с учётом собственного веса стержня.
Построим эпюру нормальных усилий и нормальных напряжений для стержня с учётом
собственного веса.
Вначале определим удельный вес стержня:
g r g
14
Рассмотрим первый участок. 0 ≤ Х1 ≤ а.
N1 P1 Q x 0
где: Qx – собственный вес стержня на участке “Х”.
Q x F1 x1 g
Отсюда определяем N1 и σ1:
N1 P1 Q x P1 F1 x1 g ;
s1
N1
F1
Рассмотрим второй участок. 0 ≤ Х2 ≤ b.
Построение эпюры продольных усилий для стержня с учётом собственного веса можно выполнить, вычисляя продольные усилия как алгебраическую сумму внешних сил приложенных к стержню по одну сторону от сечения. При этом внешняя сила принимается со знаком “+” если она направлена от сечения.
N 2 P1 Q1 P2 Q x 0
где:
Q x F2 x 2 g
N 2 P1 Q1 P2 F2 x 2 g
s 2
N 2
F2
Для определения деформации стержня с учётом собственного веса рассмотрим стержень, который деформируется только собственным весом. Рассмотрим участок длинной dx.
15
x |
F |
dx |
x |
Собственным весом этого участка можно пренебречь по сравнению с нижней частью длинной х, вес которой деформирует элементарный участок стержня длинной dx. На основании закона Гука для этого участка можно записать:
∆( )=
где:
Q x F x g
Отсюда:
∆( )=
Проинтегрируем полученное уравнение:
∆
(∆)=
∆ = |
|
= |
|
|
2 |
|
2 |
В полученном уравнении величина:
=
Тогда:
∆ =
2$
Или для участка длинной “х”:
∆
(∆)=
16
∆ = =
|
|
|
в |
2 |
2 |
Вторая формула используется тех случаях, когда стержень имеет переменное поперечное сечение.
Если к стержню кроме сил собственного веса приложены внешние силы, то деформация
определяется согласно принципу независимости действия сил, то есть определяется деформация от действия только собственного веса и деформация от действия только внешних сил. Суммарная деформация всего стержня определяется как алгебраическая сумма этих деформаций.
8. СТЕРЖЕНЬ РАВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ.
Стержнем равного сопротивления называется такая конструкция, у которой напряжения в любой точке сечения одинаковы и равны допускаемому напряжению. В данной конструкции учитывается собственный вес. Определим зависимость, по которой должна меняться площадь поперечного сечения стержня. Для этого рассмотрим стержень нагруженный осевой силой Р и
изготовленный из материала имеющего допускаемые напряжения [σ] и удельный вес γ.
P
F0
Fx
x |
[σ] = σadm |
|
dx |
dx |
|
[σ] = σadm |
|
Fx + dFx |
|
dQ |
x
Выделим элемент этого стержня с произвольным сечением “х” и длинной этого элемента dx. Рассмотрим равновесие этого элемента в виде проекции всех сил на ось х.
[ ] + − ( + )[ ] = 0
17
где: dQ – собственный вес элемента dx.
= = [ ] + − [ ] − [ ] = 0
= [ ]
В получившемся дифференциальном уравнении разделим переменные и проинтегрируем
его.
|
|
|
= |
[ |
] |
|
|
|
|||||||
|
|
|
= |
|
|
|
[ |
] |
|
|
|
|
|||
При х = 0 Fx = F0, тогда: |
ln( |
)= |
[ |
] |
+ |
|
|
||||||||
|
|
|
ln |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ln( |
)= |
[ |
] |
|
|
+ ln |
|||||||||
ln( |
)− ln |
|
|
|
|
= |
[ |
] |
|
||||||
ln( |
)− ln |
|
= |
[ ] |
|
ln |
|||||||||
Где: ln = 1. |
|
|
|
= |
|
|
[ ] |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
[ ] |
– формула Эйлера. |
|||||||||||||
Если принять, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=[ ]
=[ ] [ ]
9.СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ.
Статически неопределимыми называются такие системы, у которых количество неизвестных реакций связей превышает количество уравнений равновесия. Разность между количеством неизвестных реакций связей и количеством уравнений называется порядком или степенью статической неопределимости. Эта величина показывает, сколько дополнительных
18
уравнений совместности деформаций необходимо составить для того, чтобы раскрыть статическую неопределимость.
Рассмотрим возможные случаи статической неопределимости.
1. Стержень жёстко закреплённый по обоим концам к которому приложены внешние осевые нагрузки (рис а).
Составляем уравнение равновесия:
= 0; |
− + − = 0 |
(9.1) |
В каждом из трёх участков стержня будут действовать различные внутренние силовые факторы, следовательно каждый участок будет деформироваться по разному. Поскольку оба конца стержня жёстко закреплены то суммарная деформация всего стержня будет равна нулю.
∆ = ∆ + ∆ + ∆ = 0 |
(9.2) |
Согласно закону Гука:
|
∆ = |
|
|
∙ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∆ = |
( − |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
∙ 2$ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
∆ = |
( − |
+ |
) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∙ 2$ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляем полученные значения в формулу (9.2).
19
|
( − + ) ( − ) |
|
|
|
||||
∆ = |
− |
∙ 2$ |
+ |
+ |
∙ 2$ |
+ |
∙ |
= 0 |
|
+ |
− |
− + 2$ = 0 |
|||||
|
|
= |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
( |
+ |
+ 2$) |
|
|
|
|
Подставляем значение RB в уравнение (9.1) и определяем значение силы RА. 2. Деформация связанная с изменением внешней температуры (рис б).
Как известно из физики, при изменении внешней температуры линейный размер стержня также будет изменяться. Если при одних температурных условиях стержень был жёстко закреплён по обои концам, то в других температурных условиях это вызовет появление реакций связей этого стержня.
|
коэффициент. |
|
|
|
|
, |
|
|
где α – температурный |
G( |
− |
) |
|
||||
∆ |
= |
|
||||||
Согласно закону Гука: |
|
∆ |
= |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как стержень жёстко закреплён и∙ внешние силы вызваны температурной |
||||||||
деформацией, то: |
|
∆ |
= ∆ |
|
|
|||
|
|
@ |
|
|||||
|
G( |
− |
)= |
|
|
|||
|
|
∙ |
|
|||||
|
= G ( |
− |
) |
|
||||
Если к стержню в этом случае будут приложены внешние силы, то реакции в опорах будут различны и для их определения используют принцип независимости действия сил. То есть сначала определяются реакции от действия только температуры. Затем считая температуру неизменной, определяются реакции в опорах под действием только внешних сил. Суммарные реакции определяются как алгебраическая сумма от действия температуры и внешних сил.
3. Статическая неопределимость, связанная с неточностью изготовления или приложения внешних сил. Данная задача может также возникнуть когда жёсткий недеформируемый брус закреплён с помощью шарнирных опор и стержней число которых больше двух.
20