преобразуем “1 cos2$ ” в “tg2φo”:

Таким образом, уравнения (4) определяет главные напряжения действующие в главных площадках положение которых определено уравнением (3).

10.5. ОБОБЩЁННЫЙ ЗАКОН ГУКА ДЛЯ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЁННОГО СОСТОЯНИЯ.

Рассмотрим элемент материала находящийся в плоском напряжённом состоянии. Пусть главные напряжения, действующие в его площадках равны “σ1 и σ2”. Очевидно, что данный элемент будет испытывать деформацию в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Используя закон Гука и принцип независимости действия сил определим эти деформации. Для обозначения деформации будем использовать двойной индекс. Первый индекс определяет направление, второй – причину, то есть напряжение “σ1” или “σ2”

вызывающих деформацию.

31

σ1

σ1

Материал под действием напряжения “σ1” будет иметь относительную деформацию

“ε11”:

=

Относительная деформация от действия этого же напряжения в перпендикулярном направлении “2”:

# = − = −

Определим подобные деформации от действия напряжения “ σ2”:

# =

= − # = −

Используя принцип действия независимости сил алгебраически сложим деформации действующие в обоих направлениях:

Уравнения (1) выражают закон Гука для плоского напряжённого состояния.

32

На практике часто возникают вопросы определения напряжений по известным деформациям материала. Разрешим уравнения (1) относительно искомых напряжений “σ1 и σ2”

при известных деформациях:

=−

= −

10.6. ОБОБЩЁННЫЙ ЗАКОН ГУКА ДЛЯ ОБЪЁМНОГО НАПРЯЖЁННОГО СОСТОЯНИЯ.

Рассмотрим элемент материала находящийся в объёмном напряжённом состоянии под действием трёх главных напряжений: “σ1”, “σ2”, и “σ3”. Определим деформацию этого элемента, используя закон Гука и принцип независимости действия сил.

На основании ранее полученных закономерностей для плоского напряжённого состояния, можно получить закономерности для объёмного напряжённого состояния.

33

Уравнение (1) представляет собой закон Гука для объёмного напряжённого состояния.

Определим относительное изменение объёма для случая объёмного напряжённого состояния, считая известными относительные деформации описанные уравнением (1). Для простоты вычислений, недеформированный элементарный объём определим как элементарный куб имеющий все три размера равными единице. Тогда:

= 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1 куб. ед.

Объём после деформации:

= (1 + 1 ∙ )(1 + 1 ∙ )(1 + 1 ∙ )

= 1 + 1 ∙ 1 ∙ + 1 ∙ ∙ 1 + ∙ 1 ∙ 1+ 1 ∙ ∙ + 1 ∙ ∙ + 1 ∙ ∙ + ∙ ∙ 1– й порядок малости 2– й порядок малости 3– й

Пренебрегая величинами 2 – го и 3 – го порядка малости, полученное значение объёма после деформации приближённо можно записать как:

≈ 1 + + +

Относительное изменение объёма материала определим как:

−

= = + + (2)

Подставив значение относительной деформации из уравнения (1) в уравнение (2)

получим:

В этих условиях величина относительного изменения объёма также положительна.

1 (1 − 2$ )( + + )> 0

Это условие будет выполняться если и второй множитель данного уравнения будет величиной положительной, то есть:

34

(1 − 2$ )> 0

Разрешим полученное неравенство относительно коэффициента “µ”:

<

1

2

Таким образом значение коэффициента Пуассона “µ” меньше чем 1 2.

11. РАБОТА ВНЕШНИХ СИЛ ПРИ ДЕФОРМАЦИИ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ.

Рассмотрим стержень к концу которого приложена растягивающая сила “P”. Нижний конец стержня будет перемещаться, а следовательно сила “P” будет совершать работу.

Вычислим работу силы “P” для случая её статического приложения. (Статическим называется такое приложение силы, когда скоростью перемещения точки её приложения можно пренебречь). Сила “P” величина переменная, поэтому вычислим элементарную работу силы на перемещение, где её величину можно считать постоянной:

= ∙

Вычислим значение силы “P” как функции перемещения “x” согласно закону Гука:

Отсюда:

35

= ∙

Проинтегрируем полученное уравнение:

Поскольку кинетическая энергия силы в случае её статического приложения равна нулю,

то работа внешней силы превращается в потенциальную энергию упругой деформации стержня:

∆ = = 2

Определим удельную потенциальную энергию накопленную единицей объёма материала:

= 2 + 2 + 2

Вопросы для самоконтроля.

1.Напряжения в наклонном сечении при одноосном растяжении или сжатии.

2.Напряжения в сечении перпендикулярном наклонному. Закон парности касательных напряжений.

36

3. Напряжения в наклонном сечении для случая плоского напряженного состояния.

Возможные частные случаи.

4.Определение главных напряжений и главных площадок, для случая плоского напряженного состояния.

5.Обобщенный закон Гука для плоского и объемного напряженных состояний.

Относительные изменения объема, значения коэффициента Пуассона .

6. Работа внешних сил при деформации материала, потенциальная энергия, удельная потенциальная энергия накопленная единицей объема материала.

СДВИГ

12. СДВИГ.

Чистым сдвигом называется вид напряжённого состояния элемента материала, когда

в его площадках действуют только касательные напряжения.

Под действием касательных напряжений элемент материала изменяет свою форму.

Деформация, которую получает этот элемент изображается углом сдвига “γ”. Между углом сдвига “γ” и касательным напряжением “τ” существует экспериментально установленная взаимосвязь называемая законом Гука для сдвига:

=∙

где: G – модуль сдвига или модуль упругости второго рода. Эта величина определяет сопротивляемость материала сдвигу.

Используя полученные ранее зависимости определим главное напряжение соответствующее случаю чистого сдвига:

== 0

37

Тогда:

2$ = −90°

Отсюда:

= 45°

Определим изменение объёма элемента материала для случая чистого сдвига:

При:

= = ; = 0; = = − = 1 (1 − 2$ )( + + )= 0

Таким образом, в случае чистого сдвига изменение объема материала не происходит.

13.СВЯЗЬ МЕЖДУ УПРУГИМИ ПОСТОЯННЫМИ Е, µ, G.

Е– модуль упругости первого рода или модуль Гука;

µ – коэффициент Пуассона;

G – модуль упругости второго рода или модуль сдвига.

Связь между указанными упругими постоянными определим используя энергетический метод. Для этого определим работу накопленную единицей объёма материала для случая чистого сдвига. Выразим её через касательные напряжения “τ”.

38

Определим удельную потенциальную энергию накопленную единицей объёма материала для случая чистого сдвига:

Заменим угловую деформацию в полученном уравнении:

Выразим случай чистого сдвига через главные напряжения:

Согласно закону сохранения энергии, а также принципу независимости действия сил,

значения энергии выраженное уравнениями (1) и (4) можно приравнять.

2$ = (1 + )

39

Разрешим полученное уравнение относительно модуля упругости второго рода, то есть

“G”:

14.ПРАКТИЧЕСКИЕ РАСЧЁТЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ ЧИСТОГО СДВИГА.

14.1.ЗАКЛЁПОЧНОЕ СОЕДИНЕНИЕ.

Вусловиях чистого сдвига работают следующие виды соединений: заклёпочное,

шпоночное, шлицевое, некоторые виды болтового и сварного соединения. Кроме этого в условиях чистого сдвига работают валы при деформации их только крутящими моментами.

Рассмотрим расчёт заклёпочного соединения. Сечение заклёпки находящееся на границе соединения двух листов подвергается чистому сдвигу под действием приложенных к листам сил “P”. Сделаем сечение в этом месте и рассмотрим равновесие от действия силы “P” и

касательных напряжений одного соединительного листа.

Считается, что если соединение выполнено несколькими заклёпками, то усилие от силы

“P” распределяется равномерно между всеми заклёпками. Касательные напряжения “τ” в

40